Сколько общих пересадочных станций должно быть построено в метро города, чтобы соединить 100 линий, так что все линии пересекаются ровно в одной станции и на ровно одной станции сходятся три линии, при этом количество таких станций ограничено?
Подробный ответ:
Описание: Для решения данной задачи, мы можем использовать комбинаторный подход. Введем понятия «линии» и «станции». Пусть $n$ — количество линий, которые нужно соединить, а $k$ — количество линий, на которые они должны пересекаться и сходиться.
Количество линий, пересекающихся на одной станции, будет равно количеству сочетаний без повторений из $n$ по $k$, что обозначается символом ${C_n}^k$ или $C(n, k)$.
Количество пересекающихся линий умножаем на 2, так как каждая пересекающаяся пара дает две пересадочные станции (в одном направлении и в другом).
Таким образом, общее количество пересадочных станций равно $2 cdot C(n, k)$.
Пример использования: Предположим, у нас есть 100 линий метро и каждая должна пересекаться на двух станциях. Сколько общих пересадочных станций нам понадобится?
Решение: Мы можем использовать формулу комбинации, чтобы найти число пересадочных станций. Задача похожа на задачу на сочетания из 100 по 2. Мы можем найти это значение, используя формулу:
$C(100, 2) = frac{100!}{2!(100-2)!} = frac{100 cdot 99}{2 cdot 1} = 4950$
Теперь мы можем умножить это число на 2, чтобы получить общее количество пересадочных станций:
$2 cdot 4950 = 9900$
Таким образом, нам понадобится 9900 общих пересадочных станций в метро.
Советы: Важно помнить, что при использовании формул комбинаторики следует приступать к решению с задачи. Также полезно знать, что ${C_n}^k = {C_n}^{n-k}$, что позволяет упростить решение в некоторых случаях.
Упражнение: Предположим, у вас есть 10 линий метро, и каждая должна пересекаться на одной станции с каждой другой линией. Сколько общих пересадочных станций понадобится?