Выберите все утверждения, которые гарантированно верны: 1) Бесконечно много простых чисел. 2) Количество составных чисел конечно. 3) Если p1, …, pn — последовательные простые числа, то число P=p1…pn+1 также является простым. 4) Если p1, …, pn — простые числа, то число P=(p1…pn)2+1 не делится на ни одно из чисел p1, …, pn. 5) Если p1, …, pn — последовательные простые числа, то число P=p1…pn−1 также является простым. 6) Если a1, …, an — составные числа, то число a1…an+1 является составным.
Подтвержденное решение:
Объяснение:
1) Утверждение 1 верно. Согласно теореме Евклида, бесконечно много простых чисел. Доказательство этой теоремы было представлено в 3-ем веке до нашей эры.
2) Утверждение 2 неверно. Количество составных чисел бесконечно. Составными числами называются числа, которые делятся на другие числа, кроме 1 и самого себя. Примером такого числа является 4, так как оно делится на 2.
3) Утверждение 3 неверно. Предположим, что p1, …, pn — последовательные простые числа. Тогда число P = p1…pn + 1 не обязательно является простым. Например, если p1 = 2, p2 = 3, то P = 2 * 3 + 1 = 7, и оно действительно является простым, но если p1 = 2, p2 = 5, то P = 2 * 5 + 1 = 11, и оно тоже является простым.
4) Утверждение 4 верно. Если p1, …, pn — простые числа, то число P = (p1…pn)^2 + 1 не делится ни на одно из чисел p1, …, pn. Это следует из того факта, что при делении P на любое из чисел p1, …, pn остаток всегда будет равен 1, так как квадрат любого числа при делении на простое число дает остаток 1.
5) Утверждение 5 неверно. Предположим, что p1, …, pn — последовательные простые числа. Тогда число P = p1…pn — 1 в большинстве случаев не является простым. Например, если p1 = 2, p2 = 3, то P = 2 * 3 — 1 = 5, и оно действительно является простым, но если p1 = 2, p2 = 5, то P = 2 * 5 — 1 = 9, и оно не является простым.
Рекомендация:
Для лучшего понимания простых чисел и составных чисел, рекомендуется ознакомиться с определениями и свойствами данных чисел. Простым числом называется число, имеющее ровно два натуральных делителя — 1 и само число. Составным числом называется число, которое имеет больше двух делителей. Рекомендуется изучить примеры простых чисел и составных чисел, а также понять, как выполнять проверку числа на простоту.
Задание:
Выберите все верные утверждения:
а) Бесконечно много простых чисел.
б) Количество составных чисел конечно.
в) Если p1, …, pn — простые числа, то число P=p1…pn+1 также является простым.
г) Если p1, …, pn — простые числа, то число P=(p1…pn)2+1 не делится на ни одно из чисел p1, …, pn.
д) Если p1, …, pn — последовательные простые числа, то число P=p1…pn−1 также является простым.