Каков косинус угла между векторами b=6m+n и c=m-3n, если вектор m перпендикулярен вектору n, и длина векторов m и n

Пояснение: Чтобы найти косинус угла между векторами b и c, мы можем использовать формулу косинуса.

Формула косинуса для нахождения косинуса угла между двумя векторами a и b выглядит следующим образом:

cos(θ) = (a * b) / (|a| * |b|),

где * представляет скалярное произведение векторов, |a| и |b| — длины векторов a и b соответственно.

В данной задаче, нам даны векторы b = 6m + n и c = m — 3n, а также ограничения на векторы m и n: m перпендикулярен n и их длины равны 1.

Прежде чем продолжить, давайте найдем скалярное произведение векторов b и c:
(b * c) = (6m + n) * (m — 3n).

Мы можем использовать свойства скалярного произведения для упрощения этого уравнения:
(b * c) = 6m * m — 6m * 3n + n * m — n * 3n.

Теперь, зная, что m и n перпендикулярны друг другу, мы можем предположить, что их скалярное произведение равно нулю. Но сначала, давайте найдем значения отдельных слагаемых:
m * m = |m|^2 = 1 * 1 = 1,
n * n = |n|^2 = 1 * 1 = 1,
m * n = n * m.

Теперь, используя свойство перпендикулярности m и n, можно сказать, что m * n = 0.

Таким образом, (b * c) = 6 * 1 — 6 * 0 + 0 — 1 * 3 * 1 = 6 — 3 = 3.

Теперь, когда у нас есть значение (b * c), мы можем использовать формулу косинуса:
cos(θ) = (b * c) / (|b| * |c|) = 3 / ( |6m + n| * |m — 3n| ).

Здесь нам необходимо найти длины векторов |6m + n| и |m — 3n|. Используя свойства длин векторов, мы можем переписать эти выражения следующим образом:
|6m + n| = sqrt((6m + n) * (6m + n)) = sqrt(36m * m + 12m * n + n * n),
|m — 3n| = sqrt((m — 3n) * (m — 3n)) = sqrt(m * m — 6m * n + 9n * n).

Теперь, используя те же свойства перпендикулярности, мы можем упростить эти уравнения:
|6m + n| = sqrt(36 * 1 + 12 * 0 + 1 * 1) = sqrt(37),
|m — 3n| = sqrt(1 * 1 — 6 * 0 + 9 * 1) = sqrt(10).

Возвращаясь к формуле косинуса, мы можем вычислить косинус угла:
cos(θ) = 3 / (sqrt(37) * sqrt(10)) ≈ 0.209.

Таким образом, косинус угла между векторами b = 6m + n и c = m — 3n равен приблизительно 0.209.

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, рекомендуется иметь хорошее представление о скалярном произведении векторов и его свойствах, а также о длине вектора и его вычислении. Также полезно отрепетировать формулу косинуса и знать, как применять ее для нахождения косинуса угла между двумя векторами.

Упражнение: Найдите косинус угла между векторами a = 2i + 3j и b = 4i + 5j.