a) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которая проходит через точки M, N и K.
б) Определите периметр сечения, если DB=8 см, AD=6 см, AB=4 см.
в) Докажите, что плоскости ADB и KMN параллельны.
Исчерпывающий ответ:
а) Чтобы построить сечение, необходимо найти плоскость, проходящую через данные точки. Сблизимся к задаче пошагово. Сначала давайте найдем нормаль к этой плоскости. Возьмем два вектора: (vec{MN} = vec{N} — vec{M}) и (vec{MK} = vec{K} — vec{M}). Теперь найдем векторное произведение (vec{MN} times vec{MK}). Этот вектор будет нормалью к сечению.
b) Теперь, когда у нас есть плоскость сечения и длины сторон треугольника, можно рассчитать его периметр. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. В данном случае, стороны треугольника — это отрезки AM, AN и NK. Периметр равен сумме длин этих отрезков: AB + BM + AN + NK + KA.
в) Чтобы доказать, что плоскости ADB и KMN параллельны, необходимо показать, что нормали к этим плоскостям сонаправлены. Мы уже рассчитали нормаль плоскости сечения в предыдущем пункте. Теперь найдем нормали к плоскостям ADB и KMN. Если эти нормали сонаправлены, это доказывает параллельность плоскостей. Для этого можно рассчитать векторное произведение AB и DB, затем векторное произведение MK и NK. Если векторные произведения будут параллельны, плоскости параллельны.
Пример использования:
а) Построить сечение тетраэдра плоскостью, которая проходит через точки M(2, 3, 4), N(1, -1, 2) и K(5, 2, 6).
б) Даны отрезки DB = 8 см, AD = 6 см и AB = 4 см. Найти периметр треугольника сечения.
в) Доказать, что плоскости ADB и KMN параллельны.
Совет: При решении задачи о сечении тетраэдра плоскостью, важно внимательно следить за выполнением всех шагов и правильно подбирать нужные векторы для расчетов.
Упражнение: Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которая проходит через точки M(2, 4, 6), N(-1, 2, 3) и K(3, 6, 9). Найдите периметр сечения, если DB = 10 см, AD = 8 см, AB = 6 см. Докажите, что плоскости ADB и KMN параллельны.