Які метричні довжина і ширина прямокутної ділянки землі периметр якої складає 160 метрів, щоб забезпечити максимальну площу ділянки?
Пошаговый ответ:
Инструкция: Чтобы найти максимальную площадь прямоугольного участка земли с заданным периметром, нам нужно использовать принцип оптимальной формы. Известно, что прямоугольник с наибольшей площадью — это квадрат, поэтому стороны должны быть равными.
Пусть x — длина стороны прямоугольника, а y — ширина стороны прямоугольника.
Периметр прямоугольника можно выразить следующим образом:
P = 2x + 2y.
Из условия задачи известно, что периметр равен 160 метрам:
160 = 2x + 2y.
Чтобы найти максимальную площадь, нам нужно выразить одну из переменных через другую и подставить в формулу. В данном случае, лучше всего выразить x через y:
x = 80 — y.
Теперь мы можем выразить площадь S через x и y:
S = x * y.
S = (80 — y) * y.
Чтобы найти максимальную площадь, нам нужно найти максимум этой функции. Для этого возьмем производную по y и приравняем ее к нулю:
dS/dy = 80 — 2y = 0.
2y = 80.
y = 40.
Таким образом, ширина участка земли должна быть равна 40 метрам. Чтобы найти длину, мы можем подставить значение y в одно из уравнений:
x = 80 — y.
x = 80 — 40.
x = 40.
Получается, что метрическая длина и ширина прямоугольного участка земли должны быть равными 40 метрам для достижения максимальной площади.
Пример использования:
Ученик хочет купить участок земли с периметром 160 метров и найти наибольшую возможную площадь. Чтобы решить эту задачу, он должен использовать формулу для периметра, уравнение для площади и найти максимум этой функции, используя производную.
Совет:
Чтобы легче понять решение этой задачи, вам может быть полезно нарисовать прямоугольник и подписать его стороны. Помните, что квадрат имеет максимальную площадь среди всех прямоугольников с данным периметром.
Упражнение:
У прямоугольного участка земли периметр равен 100 метрам. Найдите максимальную площадь этого участка с шириной, вдвое меньшей длины. (Ответ: длина = 50 м, ширина = 25 м, площадь = 1250 кв. м.)