Какое решение имеет уравнение x⁶+7x³-8=0?

Объяснение: Дано уравнение x⁶ + 7x³ — 8 = 0. Чтобы найти его решение, мы можем использовать метод подстановки. Заметим, что это уравнение представляет собой кубическое уравнение в переменной x³. Для упрощения обозначений, заменим x³ на t. Тогда уравнение может быть переписано как t² + 7t — 8 = 0. Для решения этого квадратного уравнения используем формулу дискриминанта: t = (-b ± √(b² — 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 7, c = -8. Вычисляем и получаем два значения для t: t₁ = 1 и t₂ = -8.

Теперь вернемся к переменной x. Подставив эти значения обратно в уравнение x³ = t, получаем x₁ = 1^(1/3) = 1 и x₂ = (-8)^(1/3) = -2. Так как мы возведем в степень 1/3, мы получаем два значения x для каждого значения t.

Таким образом, уравнение x⁶ + 7x³ — 8 = 0 имеет четыре решения: x₁ = 1, x₂ = -2, x₃ = 1i и x₄ = -1i, где i — это мнимая единица.

Пример использования: Мы решаем уравнение x⁶ + 7x³ — 8 = 0.

Совет: При решении уравнений высокой степени, всегда хорошо использовать метод подстановки, чтобы свести их к уравнениям с меньшей степенью и найти их решения. Также важно помнить, что при нахождении корней уравнения, включая корни из степеней, могут появиться и мнимые числа.

Упражнение: Найдите решения уравнения x⁴ + 5x² — 9 = 0.