1) Оцените сложность алгоритма умножения двух натуральных чисел столбиком, предполагая, что одно из них имеет длину n, а второе — m десятичных цифр.
2) Разработайте оптимальный алгоритм возведения числа x в степень n=152.
Исчерпывающий ответ:
Описание: Алгоритм умножения столбиком является одним из основных методов умножения двух чисел. Оценка его сложности важна для понимания того, как быстро он будет работать.
Предположим, что первое число имеет длину n десятичных цифр, а второе — m десятичных цифр. Для умножения каждой цифры первого числа на каждую цифру второго числа, нам потребуется выполнить n × m умножений. После этого, для сложения всех частичных произведений, потребуется выполнить n + m — 1 сложений.
Таким образом, общая сложность алгоритма умножения двух натуральных чисел столбиком составляет O(n × m), где n и m — длины чисел в десятичных цифрах.
Пример использования: Допустим, у нас есть два числа: 123 (трехзначное) и 45 (двузначное). Мы хотим умножить их столбиком. Согласно оценке сложности алгоритма, количество умножений будет равно 3 × 2 = 6, а количество сложений — 3 + 2 — 1 = 4.
Совет: Для лучшего понимания алгоритма умножения столбиком, рекомендуется попрактиковаться в его выполнении на различных числах разной длины. Начните с простых примеров и постепенно переходите к более сложным.
Упражнение: Вычислите произведение чисел 567 и 89, используя алгоритм умножения столбиком.