Как найти решение уравнения 24* 4^ (x-0.5) — 11*2^(x+1)+6=0?
Пошаговый ответ:
Объяснение: Чтобы найти решение данного уравнения с экспонентами, мы должны использовать правило о равенстве экспонент. Для начала, преобразуем уравнение, чтобы облегчить его решение. Давайте разберемся поэтапно:
1. Перепишем уравнение: 24 * 4^(x-0.5) — 11 * 2^(x+1) + 6 = 0.
2. Разложим числа на простые множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3 = 2^3 * 3, а 11 = 11 * 1 = 11 * 2^0.
3. Упростим выражение: (2^3 * 3) * 4^(x-0.5) — (11 * 2^0) * 2^(x+1) + 6 = 0.
4. Используем свойство a^b * a^c = a^(b+c) и упростим выражение: 2^3 * 2^(2*(x-0.5)) * 3 — 11 * 2^0 * 2^x * 2^1 + 6 = 0.
5. Применим свойство 2^0 = 1 и получим: 8 * 2^(2*(x-0.5)) * 3 — 11 * 2^(x+1) + 6 = 0.
6. Теперь свернем выражение и получим: 24 * 2^(2x-1) — 22 * 2^(x+1) + 6 = 0.
7. Перенесем все слагаемые на одну сторону и получим: 24 * 2^(2x-1) — 22 * 2^(x+1) = -6.
8. Для удобства заменим 2^(x+1) на a (новую переменную): 24 * 2^(2x-1) — 22 * a = -6.
9. Умножим первое уравнение на 22 и второе на 24, затем проссумируем и получим: 24 * 2^(2x-1) * 22 — 22 * 2^(2x-1) * 22 + 22 * (-6) = 24 * 22 * a — 24 * 22 * 2.
10. Проведем вычисления и получим: 24 * 2^(2x-1) * 22 — 22 * 2^(2x-1) * 22 — 132 = 0.
11. Факторизуем выражение: (24 — 22) * 2^(2x-1) * 22 = 132 => 2^(2x-1) = 6.
12. Применим логарифмы к обеим сторонам: log(2^(2x-1)) = log(6).
13. Используем свойство log(a^b) = b * log(a) и получим: (2x-1) * log(2) = log(6).
14. Разделим обе стороны на log(2): 2x-1 = log(6) / log(2).
15. Решим уравнение относительно x: 2x = (log(6) / log(2)) + 1 => x = ((log(6) / log(2)) + 1) / 2.
Пример использования: Найдите решение уравнения: 24 * 4^ (x-0.5) — 11 * 2^(x+1) + 6 = 0.
Совет: Для решения уравнений с экспонентами, всегда старайтесь привести их к одной базе, в данном случае мы привели выражения к базе 2. Также не забывайте использовать свойства экспонент и логарифмов для упрощения выражений.
Упражнение: Найдите решение уравнения: 5 * 2^(3x-2) — 3 * 2^(2x-1) + 2 = 0.