Каким образом можно найти функцию распределения F(x) случайной величины Х, если она задана функцией плотности

Функция распределения случайной величины F(x) определяется как вероятность того, что случайная величина X принимает значение не больше x. Для нашей задачи, где функция плотности вероятности f(x) задана как х/k для 0 ≤ х ≤ R и 0 для х > R, мы можем найти функцию распределения следующим образом:

Если x ≤ 0, то F(x) = 0, так как вероятность того, что X примет значение не больше 0 равна 0.

Если 0 R, то F(x) = 1, так как вероятность того, что X примет значение не больше x равна 1.

Теперь построим графики функций F(x) и f(x). График функции плотности вероятности f(x) будет представлять собой прямую линию, начинающуюся в точке (0, 0) и заканчивающуюся в точке (R, 1/k). График функции распределения F(x) будет начинаться в точке (0, 0), затем будет иметь кривизну в точке (R, 1), и далее будет прямой линией до бесконечности.

Чтобы вычислить среднее значение М(х), дисперсию D(х) и среднее квадратичное отклонение δ(х) для случайной величины Х, нам понадобятся следующие формулы:

М(х) = ∫(x * f(x))dx для всех значений х
D(х) = ∫((x-M(х))^2 * f(x))dx для всех значений х
δ(х) = sqrt(D(х))

Чтобы вычислить значения K и R, мы можем использовать формулы K = 2 + δ и R = 2 * K.

Совет: Хорошим способом более легкого понимания этой темы является выполнение практических примеров, подставляя значения в формулы и визуализируя графики функций. Это поможет увидеть их взаимосвязь.

Упражнение: Найдите функцию распределения F(x) и постройте графики функций f(x) и F(x) для случайной величины X, где f(x) = x/3 для 0 ≤ x ≤ 3 и 0 для x > 3. Вычислите среднее значение М(х), дисперсию D(х) и среднее квадратичное отклонение δ(х) для случайной величины Х.