3. У вас есть куб abcda1b1c1d1 со стороной 2. а) Покажите, что прямая a1c1 перпендикулярна плоскости bdd1. б) Покажите, что плоскость a1c1d перпендикулярна прямой bd1. в) Из точки k — середины c1d1 — проведите линию, перпендикулярную плоскости a1c1d. г) Какова длина отрезка, проведенного этой линией внутри куба? д) В каком соотношении, относительно точки k, плоскость a1c1d делит этот отрезок?
Детальное объяснение:
Объяснение:
а) Чтобы показать, что прямая a1c1 перпендикулярна плоскости bdd1, нам нужно убедиться, что углы между каждой из линий равны 90 градусов. Поскольку все стороны куба равны 2, рассмотрим треугольник a1c1d1, который имеет две стороны равными 2 (a1c1 и c1d1) и одну сторону равной √2 (a1d1). Применив теорему Пифагора, мы можем вычислить длину стороны a1d1 как √((2^2) + (2^2)) = √8 = 2√2. Таким образом, угол a1c1d1 равен 90 градусов, что означает, что прямая a1c1 перпендикулярна плоскости bdd1.
б) Чтобы показать, что плоскость a1c1d перпендикулярна прямой bd1, мы можем использовать свойство перпендикулярности, согласно которому, если прямая перпендикулярна одной из двух пересекающихся прямых, то она перпендикулярна и к плоскости, содержащей эту прямую. Поскольку a1c1 перпендикулярна плоскости bdd1, и прямая bd1 лежит на этой плоскости, плоскость a1c1d должна быть перпендикулярна к prmd1.
в) Чтобы провести линию, перпендикулярную плоскости a1c1d через точку k, мы можем использовать прямую, проходящую через середину отрезка c1d1 (то есть точку k) и будучи перпендикулярной этой плоскости. Такая прямая называется нормалью к плоскости.
г) Чтобы найти длину отрезка, проведенного линией внутри куба, нам нужно найти расстояние между точкой k и плоскостью a1c1d. Это расстояние равно высоте (h) от треугольника c1d1k до плоскости a1c1d. Так как куб является правильным, треугольник c1d1k является прямоугольным и равнобедренным. Если мы рассмотрим одну из половин равнобедренного треугольника, состоящего из двух сторон равными h и основанием, которое равно √2 (сторона a1d1), мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти h. Так как h^2 + (√2/2)^2 = (2√2)^2, то h = 2√3/2 = √3.
д) Плоскость a1c1d делит отрезок, проведенный линией из точки k, в соотношении 1:2. То есть, отрезок, проведенный на плоскости a1c1d накоплен между точкой k и ее пересечением с плоскостью a1c1d.
Совет: Для лучшего понимания трехмерной геометрии, полезно представлять себе фигуры в пространстве и использовать визуализацию и конкретные примеры.
Упражнение: Постройте куб со стороной 3 и решите аналогичные задачи.