Чему равна длина BK в прямоугольном треугольнике ABC с биссектрисой BK и точкой L на стороне BC, где ∠CKL=∠ABC/2, и известно, что AB=40 и BL=10?
Пошаговое решение:
Объяснение: Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства прямоугольных треугольников и биссектрисы. Давайте начнем с того, что знаем, что угол CKL равен половине угла ABC. Это говорит нам о том, что углы CKL и ABC смежные и сумма их мер равна 180 градусам. Также нам известно, что AB = 40 и BL = 10.
Мы можем применить теорему синусов для нахождения длины BK.
Теорема синусов утверждает, что для любого треугольника со сторонами a, b и c и противолежащими углами A, B и C соответственно, справедлива следующая формула:
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
В нашем случае, мы знаем сторону AB = 40, а угол ABC является прямым углом (90 градусов). Нам также известен угол CKL = 1/2 угла ABC.
Используя теорему синусов для треугольника ABC, мы можем записать:
40/sin(90) = BC/sin(CKL)
Угол ABC является прямым углом, поэтому sin(90) = 1. Заменяя это значение, мы получаем:
40/1 = BC/sin(CKL)
Приводим уравнение к более простому виду:
BC = 40 * sin(CKL)
Теперь нам нужно найти значение sin(CKL). Учитывая, что CKL и ABC — смежные углы, и их сумма равна 180 градусам, мы можем записать:
CKL + ABC = 180
CKL + 90 = 180 (так как ABC = 90)
CKL = 180 — 90
CKL = 90
Теперь у нас есть значение угла CKL — 90 градусов. Мы можем использовать функцию синуса для нахождения значения sin(CKL):
sin(90) = 1
Подставляя это значение обратно в уравнение для BC, мы получим:
BC = 40 * 1
BC = 40
Таким образом, длина BC равна 40.
Пример использования: Найдите длину BK в прямоугольном треугольнике ABC, где AB = 40 и BL = 10.
Совет: При решении задач с биссектрисой прямоугольного треугольника, всегда учитывайте свойства углов и используйте теорему синусов для нахождения неизвестных сторон.
Упражнение: В прямоугольном треугольнике ABC с углом B равным 60 градусам, сторона AB равна 12. Найдите длину биссектрисы, проведенной из вершины B.