Какой модуль радиального ускорения у материальной точки в момент времени t = 0,5 сек, если ее движение в плоскости oxy

Пояснение: Радиальное ускорение (aᵣ) определяет, как материальная точка ускоряется или замедляется на пути, лежащем вдоль радиуса. В полярных координатах оно может быть выражено как:

aᵣ = (d²p/dt²) — p(dϕ/dt)²,

где p — расстояние материальной точки до начала координат, ϕ — угол, образованный лучом, проведенным из начала координат к точке и положительным полупрямым оси x.

Для данной задачи, у нас даны полярные координаты:

p(t) = 4cos(πt), и
ϕ(t) = πt.

Давайте первым делом найдем вторую производную по времени:

d²p/dt² = d²(4cos(πt))/dt².

Производная от cos(πt) дает нам -π²cos(πt), а значит:

d²p/dt² = -π² * 4cos(πt).

Теперь найдем первую производную угла ϕ(t):

dϕ/dt = d(πt)/dt.

Производная от πt равна π, следовательно:

dϕ/dt = π.

Подставим найденные значения в формулу для радиального ускорения:

aᵣ = -π² * 4cos(πt) — (4cos(πt))² * π².

Заметим, что t = 0,5 сек. Подставим это значение в формулу и вычислим радиальное ускорение.

Пример использования:
Используя формулу aᵣ = -π² * 4cos(π * 0.5) — (4cos(π * 0.5))² * π², вычислите модуль радиального ускорения.

Совет: Помните, что радиальное ускорение определяет изменение скорости материальной точки в направлении, лежащем вдоль радиуса. Регулярные практические занятия помогут вам лучше понять и применять формулы.

Упражнение: Найдите радиальное ускорение для материальной точки в момент времени t = 1 сек, если ее движение задается полярными координатами p(t) = 3sin(2πt) и ϕ(t) = 2πt. Все значения даны в СИ.