Найти проміжки монотонності, точки екстремумів та значення екстремумів для функції у = 2х-x².
Пошаговое решение:
Разъяснение:
Для анализа монотонности и экстремумов функции у = 2х — x², необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найдем производную функции у по переменной x. Для этого возьмем каждый член функции по отдельности и найдем его производную. Производная функции у будет равна:
у’ = 2 — 2x
2. Для определения интервалов монотонности нужно найти значения x, при которых производная у’ равна 0 или не существует. Решим уравнение у’ = 0:
2 — 2x = 0
-2x = -2
x = 1
3. Из полученного значения x = 1 можно сделать вывод, что функция имеет точку экстремума при х = 1.
4. Далее, чтобы определить, является ли точка экстремума максимумом или минимумом, выполняется вторая производная тест. Найдем вторую производную функции у:
у» = -2
Получили, что у» = -2, что является отрицательным числом. Это означает, что точка экстремума является максимумом функции.
5. Теперь, чтобы найти значение экстремума, подставим найденное значение x = 1 в исходную функцию у:
у = 2х — х²
у(1) = 2*1 — 1²
у(1) = 2 — 1
у(1) = 1
Получаем значение экстремума функции у при х = 1, которое равно 1.
Пример использования:
Найти промежутки монотонности, точки экстремумов и значения экстремумов функции y = 2x — x².
Совет:
Для эффективного решения задач по анализу функций важно хорошо знать правила дифференциального исчисления, а также приоритет операций в математике. Рекомендуется систематически тренироваться в решении подобных задач и обращаться к учебникам или онлайн-ресурсам для получения дополнительной информации и примеров.
Упражнение:
Найти промежутки монотонности, точки экстремумов и значения экстремумов для функции у = x³ — 6x² + 9x + 1.