Найти проміжки монотонності, точки екстремумів та значення екстремумів для функції у = 2х-x²

Разъяснение:
Для анализа монотонности и экстремумов функции у = 2х — x², необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции у по переменной x. Для этого возьмем каждый член функции по отдельности и найдем его производную. Производная функции у будет равна:

у’ = 2 — 2x

2. Для определения интервалов монотонности нужно найти значения x, при которых производная у’ равна 0 или не существует. Решим уравнение у’ = 0:

2 — 2x = 0

-2x = -2

x = 1

3. Из полученного значения x = 1 можно сделать вывод, что функция имеет точку экстремума при х = 1.

4. Далее, чтобы определить, является ли точка экстремума максимумом или минимумом, выполняется вторая производная тест. Найдем вторую производную функции у:

у» = -2

Получили, что у» = -2, что является отрицательным числом. Это означает, что точка экстремума является максимумом функции.

5. Теперь, чтобы найти значение экстремума, подставим найденное значение x = 1 в исходную функцию у:

у = 2х — х²

у(1) = 2*1 — 1²

у(1) = 2 — 1

у(1) = 1

Получаем значение экстремума функции у при х = 1, которое равно 1.

Пример использования:
Найти промежутки монотонности, точки экстремумов и значения экстремумов функции y = 2x — x².

Совет:
Для эффективного решения задач по анализу функций важно хорошо знать правила дифференциального исчисления, а также приоритет операций в математике. Рекомендуется систематически тренироваться в решении подобных задач и обращаться к учебникам или онлайн-ресурсам для получения дополнительной информации и примеров.

Упражнение:
Найти промежутки монотонности, точки экстремумов и значения экстремумов для функции у = x³ — 6x² + 9x + 1.