a) Можно ли построить окружность, охватывающую четырехугольник, углы которого соотносятся в следующих пропорциях, двигаясь по часовой стрелке: 1:4:7:3?
b) Можно ли описать окружность вокруг четырехугольника с углами, пропорциональными 6:7:8:9 по часовой стрелке?
Проверенное решение:
Объяснение:
а) Чтобы определить, можно ли построить окружность, охватывающую четырехугольник с данными пропорциями углов, необходимо использовать теорему о перпендикулярных хордах. Согласно этой теореме, углы, соответствующие хордам на окружности, находящимся на одной дуге между этими хордами, пропорциональны соответствующим дугам. В нашем случае, углы соотносятся в пропорции 1:4:7:3 по часовой стрелке.
Давайте обозначим углы четырехугольника как A, B, C и D в порядке их следования по часовой стрелке. По условию, пропорция углов составляет 1:4:7:3. Обозначим их значения как x, 4x, 7x и 3x.
Если построим окружность, охватывающую четырехугольник, то каждая сторона четырехугольника является хордой на этой окружности. Теорема о перпендикулярных хордах утверждает, что сумма двух углов, соответствующих хордам на окружности, равна 180 градусов.
Теперь рассмотрим углы четырехугольника: A, B, C и D. Согласно условию, A = x, B = 4x, C = 7x и D = 3x. При построении окружности, все углы, соответствующие хордам на окружности, составляются двумя соседними углами четырехугольника, и сумма каждой пары углов должна быть равна 180 градусов.
Получаем следующую систему уравнений:
A + B = 180,
B + C = 180,
C + D = 180.
Подставляя значения углов из условия, получаем:
x + 4x = 180,
4x + 7x = 180,
7x + 3x = 180.
Решая эту систему уравнений, найдем значение x = 20. Теперь мы можем вычислить каждый угол четырехугольника:
A = x = 20 градусов,
B = 4x = 4 * 20 = 80 градусов,
C = 7x = 7 * 20 = 140 градусов,
D = 3x = 3 * 20 = 60 градусов.
Таким образом, окружность, охватывающая четырехугольник с углами, соотносящимися в пропорции 1:4:7:3 по часовой стрелке, может быть построена.
b) Для четырехугольника с углами, пропорциональными 6:7:8:9 по часовой стрелке, мы также можем применить теорему о перпендикулярных хордах и систему уравнений, как в предыдущем примере, чтобы определить, можно ли построить окружность, охватывающую четырехугольник. Подставляя значения углов из условия в систему уравнений:
A + B = 180,
B + C = 180,
C + D = 180,
получаем:
6x + 7x = 180,
7x + 8x = 180,
8x + 9x = 180.
Решая эту систему уравнений, находим x = 15. Теперь можем вычислить каждый угол четырехугольника:
A = 6x = 6 * 15 = 90 градусов,
B = 7x = 7 * 15 = 105 градусов,
C = 8x = 8 * 15 = 120 градусов,
D = 9x = 9 * 15 = 135 градусов.
Из системы уравнений видно, что сумма каждой пары соседних углов не равна 180 градусам:
A + B = 90 + 105 = 195,
B + C = 105 + 120 = 225,
C + D = 120 + 135 = 255.
Таким образом, окружность, охватывающая четырехугольник с углами, соотносящимися в пропорции 6:7:8:9 по часовой стрелке, не может быть построена.
Совет: Чтобы лучше понять и запомнить теорему о перпендикулярных хордах, попробуйте построить несколько различных четырехугольников и найдите связь между углами, сторонами и дугами внутри окружности.
Упражнение:
a) Дан четырехугольник с углами, соотносящимися в пропорции 2:3:4:5 по часовой стрелке. Можно ли построить окружность, охватывающую этот четырехугольник?
b) Дан четырехугольник с углами, соотносящимися в пропорции 2:5:8:2. Можно ли описать окружность вокруг этого четырехугольника?