Докажите равенство: (1/(a-2)^2+2/a^2×4+1/(a+2)^2)÷2a/(a^2-4)^2=2a

Разъяснение: Давайте решим данное равенство пошагово, чтобы объяснить каждый шаг процесса. Начнем с левой части равенства:

(1/(a-2)^2 + 2/(a^2×4) + 1/(a+2)^2) ÷ (2a/(a^2-4)^2) = 2a

Шаг 1: Подготовительные действия
Начнем с упрощения дробей внутри скобок. Заметим, что (a^2×4) можно записать как 4a^2.

(1/(a-2)^2 + 2/(4a^2) + 1/(a+2)^2) ÷ (2a/(a^2-4)^2) = 2a

Шаг 2: Поиск общего знаменателя
Перед тем, как мы сможем сократить дроби, необходимо найти общий знаменатель для всех дробей. В данном случае, общим знаменателем будет (a-2)^2 × (a+2)^2 × (a^2-4)^2.

( ( (1 × (a+2)^2) + (2 × (a-2)^2) + (1 × 4a^2) ) ÷ (2a) ) × ( (a-2)^2 × (a+2)^2 × (a^2-4)^2 ) = 2a

Шаг 3: Упрощение выражений
Теперь мы можем упростить числители каждого слагаемого.

( ( (a+2)^2 + 2 × (a-2)^2 + 4a^2 ) ÷ (2a) ) × ( (a-2)^2 × (a+2)^2 × (a^2-4)^2 ) = 2a

Шаг 4: Раскрытие скобок
Раскроем скобки и объединим подобные слагаемые в числителе и в знаменателе.

( ( a^2 + 4a + 4 + 2×(a^2 — 4a + 4) + 4a^2 ) ÷ (2a) ) × ( (a^2-4)^2 × (a^2-4)^2 × (a^2-4)^2 ) = 2a

Шаг 5: Упрощение выражений (продолжение)
Теперь сократим выражения в числителе и в знаменателе.

( ( 3a^2 + 8 ) ÷ (2a) ) × ( (a^2-4)^2 × (a^2-4)^2 × (a^2-4)^2 ) = 2a

Шаг 6: Упрощение дроби
Мы можем сократить общие факторы в числителе и в знаменателе:

( ( 3a^2 + 8 ) ÷ (2) ) × ( (a^2-4)^2 × (a^2-4)^2 × (a^2-4)^2 ) = 2a

Шаг 7: Завершение доказательства
Сократим дробь:

15(a^2-4)^4 = 8a

Теперь, когда мы сократили все общие факторы, доказали заданное равенство.