Как найти решение уравнения 2sin(x+pi/4)=tgx+ctgx?

Тема вопроса: Решение тригонометрического уравнения

Инструкция: Для решения данного уравнения нам понадобится использовать знания о тригонометрии и соответствующих идентичностях. Сначала приведем уравнение к более удобному виду. Раскроем тангенту и котангенту в уравнении, используя определение этих функций через синус и косинус:

2sin(x + π/4) = sin(x)/cos(x) + cos(x)/sin(x)

Перейдем к привычным знакам sin(x) и cos(x) с помощью идентичности:

2sin(x + π/4) = (sin^2(x) + cos^2(x))/sin(x)cos(x)

Теперь умножим обе части уравнения на sin(x)cos(x), чтобы избавиться от знаменателя:

2sin(x + π/4)sin(x)cos(x) = sin^2(x) + cos^2(x)

Применим формулы двойного угла и суммы для синуса:

sin(2x + π/2) = 1

Теперь решим получившееся уравнение:

2x + π/2 = πn + (-1)^n * π/2, где n — целое число

Для нахождения всех решений уравнения в интервале от 0 до 2π, подставим различные значения n:

1) n = 0: 2x + π/2 = -π/2

2) n = 1: 2x + π/2 = π/2

3) n = 2: 2x + π/2 = 3π/2

4) n = 3: 2x + π/2 = 5π/2

Решая полученные уравнения, получаем:

1) x = -π/4

2) x = 0

3) x = π/4

4) x = π/2

Таким образом, решениями исходного уравнения являются x = -π/4, 0, π/4 и π/2.

Пример использования: Найти все решения уравнения 3cos(2x) = 2sin(x).

Совет: При решении тригонометрических уравнений полезно использовать соответствующие идентичности, формулы двойного угла и знаки тригонометрических функций. Важно также помнить об ограничениях на значения угла.

Упражнение: Решите уравнение 4sin(x)cos(x) = 2sin(x).