Каковы векторные уравнения векторов a, b и с? Как можно показать, что эти векторы компланарны? Какова линейная

Векторные уравнения векторов a, b и c обычно записываются в следующей форме:

a = [a1, a2, a3]
b = [b1, b2, b3]
c = [c1, c2, c3]

Где a1, a2 и a3 — компоненты вектора a по координатным осям x, y и z соответственно, и аналогично для векторов b и c.

Компланарность векторов:

Для определения компланарности векторов a, b и c мы можем использовать скалярное (dot) произведение. Если скалярное произведение этих векторов равно нулю, то они компланарны.

a · (b x c) = 0

Где b x c — векторное (cross) произведение векторов b и c.

Линейная зависимость:

Векторы a, b и c являются линейно зависимыми, если существуют такие числа k1, k2, k3, не все равные нулю, что:

k1a + k2b + k3c = 0

Если нет ненулевых значений k1, k2, k3, удовлетворяющих этому уравнению, то векторы a, b и c являются линейно независимыми.

Это описание демонстрирует векторные уравнения, компланарность и линейную зависимость векторов a, b и c.

Пример использования:
Пусть a = [2, 3, 1], b = [4, -1, 2] и c = [1, -2, 5].
Докажем, что эти векторы компланарны, найдем векторное произведение b и c:
b x c = [(-1 * 5) — (-2 * 2), (4 * 5) — (2 * 1), (4 * (-2)) — ((-1) * 1)] = [-1, 18, -7].
Теперь вычислим скалярное произведение между a и (b x c):
a · (b x c) = (2 * -1) + (3 * 18) + (1 * -7) = 29.
Так как a · (b x c) не равно 0, то данные векторы не компланарны.

Совет:
Для лучшего понимания векторных уравнений, компланарности и линейной зависимости, рекомендуется ознакомиться с основами линейной алгебры. Попробуйте решить больше примеров и задач на эти темы, чтобы закрепить полученные знания.

Упражнение:
Даны векторы a = [1, -2, 3], b = [2, 4, -6] и c = [-1, 2, -3]. Являются ли эти векторы линейно зависимыми или независимыми? Объясните свой ответ.