Найдите радиус окружности, касающейся луча MР и проходящей через точки A и B, если точки A и B расположены на стороне - Решёнка.Ру

Найдите радиус окружности, касающейся луча MР и проходящей через точки A и B, если точки A и B расположены на стороне МК остроугольного треугольника МРК на расстояниях 8 и 30 соответственно от вершины М, а синус угла PMK равен 1/4.

Подтвержденное решение:

Чтобы решить эту задачу, нам нужно воспользоваться некоторыми свойствами геометрии.

Определение синуса угла:
Синус угла в остроугольном треугольнике можно найти по формуле:
$sin⁡(∠PMK)=противоположный катетгипотенузаsin(angle PMK) = frac{{text{противоположный катет}}}{{text{гипотенуза}}}$
Свойства касательных к окружности:
Касательная к окружности, проведенная к радиусу в точке касания, перпендикулярна к радиусу.

Теперь перейдем к решению.

Шаг 1: Найдем синус угла PMK. У нас уже есть значение:

sin⁡(∠PMK)=14sin(angle PMK) = frac{1}{4}

Шаг 2: Найдем косинус угла PMK. Используем тригонометрическую тождественность: $sin^2 x + cos^2 x = 1$ .

sin^2(angle PMK)} = sqrt{1 — left(frac{1}{4}right)^2} = sqrt{1 — frac{1}{16}} = sqrt{frac{15}{16}} = frac{sqrt{15}}{4}

Шаг 3: Обозначим точку касания как $T$ .

Шаг 4: Так как $A T$ и $BT$ — касательные, они перпендикулярны к радиусу $MT$ .

Шаг 5: Треугольник $A MT$ и треугольник $BMT$ прямоугольные (по свойству касательных), поэтому можем воспользоваться теоремой Пифагора.

Для треугольника $A MT$ :

AM^2 + MT^2 = AT^2

Для треугольника $BMT$ :

BM^2 + MT^2 = BT^2

Шаг 6: Подставим известные значения. Так как $A M = 8$ и $BM = 30$ , получим два уравнения:

82+MT2=AT2(1)8^2 + MT^2 = AT^2 quad text{(1)}

302+MT2=BT2(2)30^2 + MT^2 = BT^2 quad text{(2)}

Шаг 7: Теперь подставим значение $A T = BT = r + MT$ (где $r$ — радиус окружности) и заменим $MT^2$ с помощью уравнения (1):

8^2 + MT^2 = (r + MT)^2

Шаг 8: Раскроем скобки и упростим уравнение:

MT^2 = r^2 + 2r cdot MT + MT^2

Шаг 9: Переносим все кроме $r$ на одну сторону:

2 r \cdot MT = 64

Шаг 10: Подставим $MT=154⋅rMT = frac{sqrt{15}}{4} cdot r$ (по определению косинуса):

2r⋅154⋅r=642r cdot frac{sqrt{15}}{4} cdot r = 64

Шаг 11: Решим уравнение относительно $r$ :

r2=64⋅42⋅15=12815r^2 = frac{64 cdot 4}{2 cdot 15} = frac{128}{15}

r=12815=8215=83015r = sqrt{frac{128}{15}} = frac{8sqrt{2}}{sqrt{15}} = frac{8sqrt{30}}{15}

Итак, радиус окружности, касающейся луча MР и проходящей через точки A и B, равен $83015frac{8sqrt{30}}{15}$ .

Покажи ответ друзьям: