Какова площадь четырехугольника, если две из его вершин совпадают с фокусами эллипса 9x^2+5y^2=1, а остальные две вершины совпадают с концами его малой оси?
Детальное объяснение:
Объяснение: Чтобы найти площадь четырехугольника, образованного эллипсом, мы можем воспользоваться геометрическим подходом. Для начала, давайте изобразим эллипс 9x^2+5y^2=1 на координатной плоскости.
Из уравнения эллипса можно выразить y в зависимости от x:
y = ±√((1-9x^2)/5)
Малая ось эллипса соответствует точкам, где y = 0. То есть:
0 = ±√((1-9x^2)/5)
Решая это уравнение относительно x, мы получаем:
x = ±1/3
Таким образом, малая ось проходит через вершины (-1/3, 0) и (1/3, 0).
Фокусы эллипса являются точками с координатами (c, 0), где c — фокусное расстояние эллипса.
Для данного эллипса, с использованием формулы фокусного расстояния:
c = sqrt(a^2 — b^2)
где a и b — полуоси эллипса, мы можем вычислить значение c:
c = sqrt((1/9) — (1/5)) = sqrt(4/45)
Таким образом, фокусы эллипса находятся в точках (-sqrt(4/45), 0) и (sqrt(4/45), 0).
Четырехугольник, образованный эллипсом, является прямоугольником, так как его вершины совпадают с фокусами и концами малой оси.
Чтобы найти площадь прямоугольника, мы можем использовать формулу:
Площадь = длина * ширина
В нашем случае, длина прямоугольника равна фокусному расстоянию c:
Длина = 2c = 2sqrt(4/45)
А ширина равна длине малой оси:
Ширина = 2 * (1/3) = 2/3
Подставляя эти значения в формулу для площади, мы получаем:
Площадь = (2sqrt(4/45)) * (2/3) = (4/3)sqrt(4/45) = (8/3)sqrt(4/45)
Таким образом, площадь четырехугольника, образованного эллипсом, равна (8/3)sqrt(4/45).
Пример использования: Найдите площадь четырехугольника, образованного эллипсом 9x^2+5y^2=1, если две его вершины совпадают с фокусами эллипса, а остальные две вершины совпадают с концами его малой оси.
Совет: Чтобы лучше понять геометрическое представление этого прямоугольника, нарисуйте эллипс на графическом калькуляторе и отметьте точки фокусов и концов малой оси. Это поможет визуализировать, как прямоугольник образуется внутри эллипса.
Упражнение: Найдите площадь четырехугольника, образованного эллипсом 4x^2 + 9y^2 = 1, если две его вершины совпадают с фокусами эллипса, а остальные две вершины совпадают с концами его малой оси.