А) Найдите решение уравнения, которое может быть переписано как: cos(x-2π) = sin(3π-x).
б) Определите все значения x, удовлетворяющие этому уравнению и принадлежащие интервалу [−π;π/2]. В моем решении получилось π/4+πk, но мне не ясно, как правильно выбрать корень в этой части.
Пошаговое решение:
Пояснение:
Чтобы найти решение уравнения cos(x-2π) = sin(3π-x), следует использовать тригонометрические тождества и свойства. Для начала, давайте приведем уравнение к более удобному виду.
cos(x-2π) = sin(3π-x)
cos(x-2π) = sin(x-π)
Перепишем sin(x-π) в виде cos(π/2 — (x-π)):
cos(x-2π) = cos(π/2 — (x-π))
Теперь, для равенства cos(a) = cos(b), необходимо, чтобы значения a и b либо совпадали, либо были дополнением до 2π. То есть:
x — 2π = π/2 — (x-π)
или
x — 2π = π — (x-π) + 2π
После решения этих уравнений мы найдем две группы значений x. Далее, для каждой из этих групп нам нужно проверить, удовлетворяют ли они условию интервала [−π;π/2].
Пример использования:
а) Решение уравнения:
x — 2π = π/2 — (x-π)
2x = 5π/2
x = 5π/4
b) Проверка интервала [−π;π/2]:
x = π/4 + kπ, где k – целое число.
Значение π/4 удовлетворяет данному интервалу.
Совет: Важно помнить тригонометрические тождества, свойства функций cos и sin, а также методы решения уравнений. Практикуйтесь в решении различных уравнений, чтобы лучше понять их особенности и овладеть навыками решения.
Упражнение:
Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению cos(2x) = sin(x), принадлежащие интервалу [0;2π].