Сколько существует натуральных чисел n, для которых выполняется равенство НОК (10;n) = НОД (20;6n)?

Объяснение: Для решения данной задачи, необходимо разобраться в понятии НОК (наименьшего общего кратного) и НОД (наибольшего общего делителя). НОК двух чисел это наименьшее число, которое делится на оба числа без остатка. НОД двух чисел это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка.

Для решения задачи, мы должны найти все натуральные числа n, для которых равенство НОК(10;n) = НОД(20;6n) выполняется. Давайте рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

НОК(10;n): Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 10 и n. Заметим, что 10 = 2 * 5. Таким образом, чтобы достичь наименьшего общего кратного, необходимо, чтобы n содержало множители 2 и 5.

НОД(20;6n): Наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 6n. Заметим, что 20 = 2^2 * 5, а 6n = 2 * 3 * n. Из этого следует, что наибольший общий делитель будет равен 2. То есть, чтобы НОД(20;6n) был равен 2, необходимо, чтобы n было четным числом.

Таким образом, для равенства НОК(10;n) = НОД(20;6n) необходимо, чтобы n было четным числом и содержало в себе множители 2 и 5. Мы можем представить n как произведение этих множителей: n = 2 * 5 * k, где k — натуральное число.

Пример использования: Для примера, найдем количество натуральных чисел n, для которых выполняется равенство НОК (10;n) = НОД (20;6n).

n = 2 * 5 * k, где k — натуральное число.

Таким образом, мы можем выбрать любое натуральное число для k. Пусть k = 3. Тогда n = 2 * 5 * 3 = 30.

Таким образом, существует одно натуральное число, для которого выполняется равенство НОК (10;n) = НОД (20;6n).

Совет: Для лучшего понимания понятия НОК и НОД, рекомендуется изучить разложение чисел на простые множители и свойства НОК и НОД. Решение задач по НОК и НОД упрощается, если числа представлены в разложенном виде на простые множители.

Упражнение: Найдите все натуральные числа n, для которых выполняется равенство НОК(10;n) = НОД(20;6n).