1. Какой будет пятый член прогрессии с начальным членом 810 и знаменателем -1/3? 2. Найдите сумму первых восьми членов

Прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается из предыдущего числа путем прибавления или вычитания определенного значения, называемого знаменателем или шагом.

1. Для нахождения пятого члена прогрессии с начальным членом 810 и знаменателем -1/3, мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии: a_n = a_1 + (n — 1) * d, где a_n — n-ый член прогрессии, a_1 — первый член прогрессии, n — номер члена прогрессии, d — знаменатель.

Подставляя значения из задачи, получаем: a_5 = 810 + (5 — 1) * (-1/3).
Выполняя вычисления: a_5 = 810 + 4 * (-1/3) = 810 — 4/3 = 810 — 1 1/3 = 808 2/3.
Таким образом, пятый член прогрессии равен 808 2/3.

2. Для нахождения суммы первых восьми членов прогрессии с начальным членом 9 и знаменателем -1/3, мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии: S_n = n/2 * (a_1 + a_n), где S_n — сумма первых n членов прогрессии.

Подставляя значения из задачи, получаем: S_8 = 8/2 * (9 + a_8).
Нам нужно найти значение a_8. Используем формулу общего члена арифметической прогрессии: a_n = a_1 + (n — 1) * d, и подставляем значения из задачи: a_8 = 9 + (8 — 1) * (-1/3).
Выполняем вычисления: a_8 = 9 + 7 * (-1/3) = 9 — 7/3 = 9 — 2 1/3 = 6 2/3.
Теперь, подставив найденное значение в формулу суммы, получаем: S_8 = 8/2 * (9 + 6 2/3).
Выполняем вычисления: S_8 = 4 * (9 + 6 2/3) = 4 * (9 + 20/3) = 4 * (27/3 + 20/3) = 4 * (47/3) = 4 * 15 2/3 = 62 2/3.
Таким образом, сумма первых восьми членов прогрессии равна 62 2/3.

3. Если последовательность является прогрессией с седьмым членом 162 и знаменателем √3, мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии, чтобы найти первый член b^1. Формула общего члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом: a_n = a_1 + (n — 1) * d.

Подставляя значения из задачи, получаем: 162 = b^1 + (7 — 1) * √3.
Упрощаем выражение: 162 = b^1 + 6√3.
Чтобы найти первый член b^1, нужно избавиться от квадратного корня. Вычитаем 6√3 из обеих сторон уравнения: b^1 = 162 — 6√3.
Таким образом, первый член прогрессии b^1 равен 162 — 6√3.