1. Проверьте монотонность и наличие экстремумов функции f(x)=(x+1)^2(x-2).
2. Определите, имеет ли функция f(x)=32lnx-x^2 монотонность и экстремумы.
Подробный ответ:
Пояснение: Чтобы проверить монотонность функции, мы должны проанализировать изменение ее значения с изменением аргумента (x). Для этого возьмем производную функции и исследуем ее знаки.
1. Проверка монотонности и наличия экстремумов функции f(x) = (x + 1)^2(x — 2):
Шаг 1: Найдем производную функции f(x):
f'(x) = 2(x + 1)(x — 2) + (x + 1)^2
Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки и проверить наличие экстремумов:
2(x + 1)(x — 2) + (x + 1)^2 = 0
Разложим и решим это уравнение:
2(x^2 — x — 4) + (x^2 + 2x + 1) = 0
2x^2 — 2x — 8 + x^2 + 2x + 1 = 0
3x^2 = 7
x^2 = 7/3
x = ±√(7/3)
Шаг 3: Анализируем производную функции f'(x) на интервалах с использованием стандартных значений.
Вычислим значения f'(x) на интервалах (-∞, -√(7/3)), (-√(7/3), +√(7/3)), (+√(7/3), +∞).
-∞ < x 0
Значит, f'(x) положительна на этом интервале.
-√(7/3) < x 0
Значит, f'(x) положительна на этом интервале.
+√(7/3) < x < +∞: Выберем x = 3:
f'(3) = 2(3 + 1)(3 — 2) + (3 + 1)^2 = -1 < 0
Значит, f'(x) отрицательна на этом интервале.
Промежуточный вывод: Из анализа производной функции f'(x) можно сделать следующие выводы:
— Функция f(x) возрастает на интервалах (-∞, -√(7/3)) и (-√(7/3), +∞).
— Функция f(x) убывает на интервале (+√(7/3), +∞).
Шаг 4: Проверим наличие экстремумов в критических точках:
Подставим найденные значения x = -√(7/3) и x = +√(7/3) в исходную функцию f(x):
f(-√(7/3)) = (-√(7/3) + 1)^2(-√(7/3) — 2)
f(+√(7/3)) = (+√(7/3) + 1)^2(+√(7/3) — 2)
После вычислений, мы можем определить значения функции в этих точках и сделать заключение о наличии экстремумов.
2. Определение монотонности и экстремумов функции f(x) = 32lnx — x^2:
Шаг 1: Найдем производную функции f(x):
f'(x) = 32/x — 2x
Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки и проверить наличие экстремумов:
32/x — 2x = 0
32 — 2x^2 = 0
x^2 = 16
x = ±4
Шаг 3: Анализируем производную функции f'(x) на интервалах с использованием стандартных значений.
Вычислим значения f'(x) на интервалах (-∞, -4), (-4, 4), (4, +∞).
-∞ < x 0
Значит, f'(x) положительна на этом интервале.
-4 < x < 4: Выберем x = 0:
f'(0) = 32/0 — 2(0) = ∞
Значит, f'(x) положительна на этом интервале.
4 < x < +∞: Выберем x = 5:
f'(5) = 32/5 — 2(5) = -6 < 0
Значит, f'(x) отрицательна на этом интервале.
Промежуточный вывод: Из анализа производной функции f'(x) можно сделать следующие выводы:
— Функция f(x) возрастает на интервале (-∞, -4).
— Функция f(x) убывает на интервале (4, +∞).
Шаг 4: Проверим наличие экстремумов в критических точках:
Подставим найденные значения x = -4 и x = 4 в исходную функцию f(x):
f(-4) = 32ln(-4) — (-4)^2
f(4) = 32ln(4) — (4)^2
После вычислений, мы можем определить значения функции в этих точках и сделать заключение о наличии экстремумов.
Совет: Для лучшего понимания монотонности и экстремумов функций, рекомендуется изучить и овладеть навыками дифференцирования функций. Также полезно проводить анализ графиков функций для наглядного представления их поведения.
Дополнительное задание: Найдите критические точки и определите монотонность функции f(x) = x^3 — 4x^2 + 3x.