Найдите наибольшую степень (x), для которой многочлен f(x) — p(x) * g(x) дает остаток r(x), где либо степень r(x) меньше степени (x), либо r(x) является нуль-многочленом:
1) f(x) = 3x^4 — 2x^3 + 7x — 3
p(x) = x^2 — 3x — 2
g(x) = x^2 — 3x — 2
2) f(x) = 12x^7 — 3x^5 + 6x^4 — 9x^2 + 33
p(x) = 4x^7 — x^5 + 2x^4 — 3x^2 + 11
g(x) = 4x^7 — x^5 + 2x^4 — 3x^2 + 11
3) f(x) = x^4 — 7x^3 + 6x^2 — 5x — 19
p(x) = x — 1
g(x) = x^4 — 7x^3 + 6x^2 — 5x — 19
4) f(x) = 7x — 7
p(x) = x^3 — 5x + 3
g(x) = 3x — 1
5) f(x) = 3x^5 — 2x^4 + 3x^3
p(x) = 0
Проверенное решение:
Пояснение: Для решения данной задачи нам необходимо определить наибольшую степень многочлена (x), для которой исходный многочлен f(x) — p(x) * g(x) дает остаток r(x), где либо степень r(x) меньше степени (x), либо r(x) является нуль-многочленом.
Для этого мы должны выполнить следующие шаги:
1. Разложить многочлены p(x) и g(x) на множители.
2. Выполнить умножение p(x) * g(x).
3. Вычесть полученное произведение из исходного многочлена f(x).
4. Определить степень полученного остатка r(x).
5. Если степень r(x) меньше степени (x) или r(x) является нуль-многочленом, то это и есть наибольшая степень.
Пример использования: Давайте решим первую задачу.
1) f(x) = 3x^4 — 2x^3 + 7x — 3, p(x) = x^2 — 3x — 2, g(x) = x^2 — 3x — 2
Шаг 1: Разложение многочленов на множители:
p(x) = (x — 1)(x + 2)
g(x) = (x — 1)(x + 2)
Шаг 2: Умножение многочленов:
p(x) * g(x) = (x — 1)(x + 2)(x — 1)(x + 2)
Шаг 3: Вычитание произведения из f(x):
f(x) — p(x) * g(x) = 3x^4 — 2x^3 + 7x — 3 — (x — 1)(x + 2)(x — 1)(x + 2)
Шаг 4: Определение степени остатка r(x):
Дальнейшие шаги нужно выполнить самостоятельно.
Совет: Для более легкого понимания задачи и нахождения наибольшей степени, рекомендуется использовать метод разложения многочленов на множители и выполнить все шаги последовательно.
Упражнение: Найдите наибольшую степень (x) для задачи №3:
f(x) = x^4 — 7x^3 + 6x^2 — 5x — 19,
p(x) = x — 1,
g(x) = ?