Какова скорость шарика в нижней точке его траектории, если масса шарика — 10 г, его нить отклонена на 45° от вертикального положения и он выпущен без начальной скорости, при условии, что воздушное сопротивление не учитывается?
Исчерпывающий ответ:
Для решения этой задачи, мы можем использовать законы сохранения механической энергии. В данном случае, механическая энергия в нижней точке траектории будет равна механической энергии в начальной точке. Механическая энергия включает кинетическую и потенциальную энергии.
-
Начнем с потенциальной энергии (потенциальной энергии высоты):
Потенциальная энергия в начальной точке (после отклонения нити) равна потенциальной энергии в нижней точке траектории. Потенциальная энергия вычисляется как:Потенциальная энергия (в начальной точке) = Потенциальная энергия (в нижней точке)
m * g * h (начальная) = m * g * h (нижняя)
Где:
- m — масса шарика (10 г, что равно 0.01 кг после преобразования в СИ)
- g — ускорение свободного падения (приближенно 9.81 м/с² в СИ)
- h (начальная) — высота начальной точки над нижней точкой траектории
- h (нижняя) — ноль, так как нижняя точка траектории находится на уровне земли.
-
Теперь выразим скорость в нижней точке:
Мы знаем, что кинетическая энергия (КЭ) связана с механической энергией следующим образом:Механическая энергия = Кинетическая энергия (КЭ) + Потенциальная энергия
В начальной точке (где нить была отклонена), механическая энергия равна потенциальной энергии:
m * g * h (начальная) = КЭ (нижняя)
Теперь можно выразить КЭ (нижняя) и получить скорость (υ):
КЭ (нижняя) = 0.5 * m * υ²
Подставляем значение механической энергии (равное потенциальной энергии в начальной точке):
0.5 * m * υ² = m * g * h (начальная)
Теперь решаем уравнение для скорости (υ):
υ² = (2 * g * h (начальная))
υ = √(2 * g * h (начальная))
υ = √(2 * 9.81 m/s² * h (начальная))
-
Подставляем угол α:
Угол α между вертикальной нитью и начальной позицией шарика равен 45°. Это означает, что высота начальной точки (h (начальная)) может быть выражена через длину нити (L):h (начальная) = L * sin(α)
Теперь подставляем это значение обратно в уравнение для скорости:
υ = √(2 * 9.81 m/s² * L * sin(α))
-
Вычисляем скорость:
Подставляем известные значения (g = 9.81 м/s², α = 45°, и массу m = 0.01 кг):υ = √(2 * 9.81 m/s² * L * sin(45°))
υ = √(2 * 9.81 m/s² * L * 1/√2)
υ = √(9.81 m/s² * L)
Теперь у нас есть выражение для скорости шарика в нижней точке его траектории:
υ = √(9.81 m/s² * L)
Это позволит вам найти скорость шарика, зная длину нити (L).