Сколько стоит окраска поверхности конического шпиля здания, если его основание имеет диаметр 9,8 метра, угол между образующими в осевом сечении составляет 60 градусов, и стоимость окраски одного квадратного метра составляет 1150 рублей?
Подробный ответ:
Пояснение: Для решения этой задачи нам необходимо найти площадь поверхности конического шпиля здания. Площадь поверхности конуса можно найти с помощью формулы:
S = π * r * (r + l),
где S — площадь поверхности конуса, r — радиус основания конуса, l — образующая конуса.
Основание конуса имеет диаметр 9,8 метра, что означает, что радиус основания равен половине диаметра, то есть 9.8 / 2 = 4.9 метра.
Образующая конуса можно найти с помощью теоремы Пифагора, так как известны радиус основания и угол между образующими в осевом сечении. Формула для нахождения образующей выглядит следующим образом:
l = √(r² + h²),
где r — радиус основания, h — высота конуса.
Угол между образующими в осевом сечении составляет 60 градусов, а высоты конуса у нас нет. Но мы можем вычислить высоту конуса, используя триангуляцию. Так как у нас известно, что угол между образующей и высотой составляет 30 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов). Из этого следует, что:
sin(30) = h / l,
где h — высота конуса.
Теперь, найдя высоту конуса с помощью этой формулы, мы можем вычислить образующую конуса с помощью теоремы Пифагора и, наконец, найти площадь поверхности конуса по формуле, указанной выше.
Пример использования:
Для решения задачи вычислим высоту конуса:
sin(30) = h / l,
sin(30) = h / (4.9),
h = 4.9 * sin(30) = 2.45 метра.
Теперь найдем образующую конуса:
l = √(r² + h²),
l = √((4.9)² + (2.45)²) ≈ 5.5 метра.
И, наконец, найдем площадь поверхности конуса:
S = π * r * (r + l),
S = π * 4.9 * (4.9 + 5.5) ≈ 164.57 квадратных метров.
Чтобы найти стоимость окраски поверхности конического шпиля, умножим площадь поверхности на стоимость окраски одного квадратного метра:
164.57 * 1150 ≈ 189,078.50 рублей.
Совет: При решении подобных задач всегда старайтесь использовать геометрические формулы, чтобы вычислить недостающие параметры. Схематический рисунок или модель также может помочь визуализировать задачу и лучше понять ее условие. Не забывайте обращать внимание на единицы измерения в задаче и проводить все вычисления в одинаковых единицах.
Упражнение:
Основание конуса имеет диаметр 6 метров, угол между образующими в осевом сечении составляет 45 градусов, а стоимость окраски одного квадратного метра составляет 1500 рублей. Найдите стоимость окраски поверхности этого конического шпиля.