а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1 в кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 12, где на ребре CD отмечена точка P

Задача:

а) Доказательство, что точка М является серединой ребра CC1

Для начала, построим плоскость, проходящую через точки P, C и C1. Обозначим эту плоскость как α.

Также, обозначим точку М как середину ребра CC1.

Используем координатный метод:

Пусть координаты точек A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 заданы как A(-6, 6, 6), B(6, 6, 6), C(6, -6, 6), D(-6, -6, 6), A1(-6, 6, -6), B1(6, 6, -6), C1(6, -6, -6), D1(-6, -6, -6). Обратите внимание, что координаты записаны в виде (x, y, z), где x — координата по оси X, y — координата по оси Y, z — координата по оси Z.

Теперь, найдем координаты точек P и Q.

Точка P находится на ребре CD и имеет значение DP = 4. Поэтому координаты точки P будут равны (6, -6, 4).

Точка Q находится на ребре B1B и имеет значение B1Q = 3. Поэтому координаты точки Q будут равны (6, 6, 3).

Для доказательства, что точка М является серединой ребра CC1, нам нужно показать, что координаты точки М совпадают с серединой ребра CC1.

Координаты точки С (6, -6, 6), а координаты точки C1 (6, -6, -6). Из этих координат мы можем вычислить координаты точки М.

Суммируем соответствующие координаты точек С и C1 и делим их пополам:

x-координата М = (6 + 6) / 2 = 6

y-координата М = (-6 + -6) / 2 = -6

z-координата М = (6 + -6) / 2 = 0

Координаты точки М равны (6, -6, 0).

Мы видим, что координаты точки М совпадают с серединой ребра CC1. Следовательно, точка М является серединой ребра CC1.

б) Расстояние от точки С до плоскости APQ

Для нахождения расстояния от точки С до плоскости APQ, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

где A, B, C, D — коэффициенты уравнения плоскости, Ax + By + Cz + D = 0, и x, y, z — координаты точки С.

Уравнение плоскости APQ можно найти, используя точки A, P и Q.

Вектор нормали плоскости можно получить как векторное произведение векторов AP и AQ.

Теперь, найдем уравнение плоскости APQ. Возьмем точку A (-6, 6, 6) и векторы AP и AQ.

Вектор AP = P — A = (6, -6, 4) — (-6, 6, 6) = (6+6, -6-6, 4-6) = (12, -12, -2)

Вектор AQ = Q — A = (6, 6, 3) — (-6, 6, 6) = (6+6, 6-6, 3-6) = (12, 0, -3)

Теперь, найдем векторное произведение векторов AP и AQ.

Векторное произведение AP и AQ = (12, -12, -2) x (12, 0, -3) = (-36, 24, 144)

Теперь, используем найденные коэффициенты A, B, C из векторного произведения, чтобы записать уравнение плоскости APQ.

Уравнение плоскости APQ: -36x + 24y + 144z + D = 0

Также, мы знаем, что точка С имеет координаты (6, -6, 6). Подставим эти значения в уравнение плоскости APQ и найдем коэффициент D.

-36*6 + 24*(-6) + 144*6 + D = 0

-216 — 144 + 864 + D = 0

504 + D = 0

D = -504

Теперь, уравнение плоскости APQ: -36x + 24y + 144z — 504 = 0

Используем формулу для расстояния от точки С до плоскости APQ:

d = |(-36*6) + (24*(-6)) + (144*6) — 504| / √((-36)^2 + (24)^2 + (144)^2)

d = |-216 + (-144) + 864 — 504| / √(1296 + 576 + 20736)

d = |0| / √(22608)

d = 0 / 150.2

d = 0

Таким образом, расстояние от точки С до плоскости APQ равно 0.

Совет: Для лучшего понимания этой задачи, полезно визуализировать куб ABCDA1B1C1D1 и точки P, Q, С, M в трехмерном пространстве. Это поможет вам представить себе геометрическую конфигурацию и увидеть, как все связано друг с другом.

Практика: Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки С, P и M. Используйте их координаты, чтобы найти коэффициенты уравнения плоскости и запишите его в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C, D — коэффициенты уравнения плоскости, а x, y, z — координаты точки на плоскости.