Какое уравнение сферы с центром в точке T(–3; 5; –1) и радиусом R=4? Найдите значения A, B, C, D в уравнении

Объяснение:
Уравнение сферы в трехмерном пространстве имеет следующий вид:

(х — a)^2 + (y — b)^2 + (z — c)^2 = r^2,

где (a, b, c) — координаты центра сферы, r — радиус сферы.

В данной задаче центр сферы задан точкой T(-3, 5, -1), а радиус R = 4.

Значит, уравнение сферы будет иметь вид:

(х — (-3))^2 + (y — 5)^2 + (z — (-1))^2 = 4^2,

(х + 3)^2 + (y — 5)^2 + (z + 1)^2 = 16.

Далее раскроем скобки:

(х + 3)(х + 3) + (у — 5)(у — 5) + (z + 1)(z + 1) = 16,

х^2 + 6х + 9 + у^2 — 10у + 25 + z^2 + 2z + 1 = 16,

х^2 + у^2 + z^2 + 6х — 10у + 2z + 35 = 16.

Получаем окончательное уравнение сферы:

х^2 + у^2 + z^2 + 6х — 10у + 2z + 19 = 0.

Таким образом, значения A, B, C, D в уравнении (х+A)^2 + (у+B)^2 + (z+C)^2 = D будут следующими: A = 6, B = -10, C = 2, D = 19.

Пример использования:
Уравнение сферы с центром в точке T(-3, 5, -1) и радиусом R = 4 будет иметь вид (х + 3)^2 + (у — 5)^2 + (z + 1)^2 = 16. При раскрытии скобок получим уравнение, которое можно записать в следующем виде: х^2 + у^2 + z^2 + 6х — 10у + 2z + 19 = 0.

Совет:
Для более легкого понимания уравнения сферы, стоит проработать на практике несколько примеров, где заданы различные значения центра и радиуса.

Задание для закрепления:
Найдите уравнение сферы с центром в точке A(2, -1, 3) и радиусом R = 5. Определите значения A, B, C, D в уравнении (х + A)^2 + (у + B)^2 + (z + C)^2 = D.