Какова сумма первых трех членов геометрической прогрессии (bn), если известно, что сумма первого и второго членов равна 51, а сумма второго и третьего членов равна 102?
Точный ответ:
Инструкция:
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Обозначим знаменатель данной прогрессии как q.
Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать свойства геометрической прогрессии.
Пусть первый член прогрессии равен b, а второй — b*q, а третий — b*q².
Исходя из условия задачи, сумма первого и второго членов равна 51:
b + b*q = 51. (1)
Также сумма второго и третьего членов равна 102:
b*q + b*q² = 102. (2)
Нам нужно найти сумму первых трех членов геометрической прогрессии, то есть b + b*q + b*q².
Для решения этой системы уравнений с двумя неизвестными (b и q) можно использовать метод подстановки или метод исключения. Я запрограммирую ТeacherGPT для вас для решения данной задачи.
Пример использования:
Дано: сумма первого и второго членов равна 51, а сумма второго и третьего членов равна 102. Найдите сумму первых трех членов геометрической прогрессии.
Решение:
1. Подставим b + b*q = 51 в уравнение b*q + b*q² = 102:
(51)q + (51)q² = 102
51q + 51q² — 102 = 0
2. Разделим это уравнение на 51 для упрощения:
q + q² — 2 = 0
3. Решим это квадратное уравнение:
q² + q — 2 = 0
(q + 2)(q — 1) = 0
q = -2 или q = 1
4. Подставим оба значения q в любое из первых двух уравнений (1):
Если q = -2, получим b = 34.5
Если q = 1, получим b = 25
5. Теперь найдем сумму первых трех членов геометрической прогрессии для каждого набора значений b и q:
q = -2: 34.5 + 34.5*(-2) + 34.5*(-2)² = 34.5 — 69 + 138 = 103.5
q = 1: 25 + 25*1 + 25*1² = 25 + 25 + 25 = 75
Ответ: Сумма первых трех членов геометрической прогрессии может быть равна 103.5 или 75, в зависимости от значения q.
Совет:
Для решения подобных задач по геометрической прогрессии, всегда начинайте с записи уравнений, использующих суммы членов данной прогрессии. Затем примените методы решения, такие как подстановка или исключение, для нахождения значений неизвестных.
Упражнение:
Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии -17, а сумма второго и третьего членов равна 51. Найдите сумму первых трех членов данной прогрессии.