1) Найдите длину перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α, если расстояние от точки А до плоскости α равно 3см.
2) Найдите расстояние от точки М до плоскости α, если прямая NM параллельна плоскости α и расстояние от точки N до плоскости α равно 6см.
3) Найдите расстояние между прямой АК и плоскостью NВР, если через вершины М и Р квадрата MNРК со стороной 4см проведены перпендикулярные плоскости квадрата прямые АМ и ВР.
4) Найдите длину двух наклонных, проведенных из точки М к плоскости α, если их длина составляет 18.
Пошаговое решение:
Объяснение: Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле, которая основана на использовании векторов. Для этого необходимо знание координат точки и уравнения плоскости. Пусть уравнение плоскости записано в виде Ax + By + Cz + D = 0, где (x, y, z) — координаты точки, A, B, C — коэффициенты плоскости, D — свободный член.
1) Чтобы найти длину перпендикуляра из точки А к плоскости α, используем формулу: расстояние = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²). Подставляем значения координат точки А и коэффициенты плоскости α в формулу и решаем ее, получая численное значение длины.
2) Когда прямая NM параллельна плоскости α, мы можем найти расстояние от точки М до плоскости α, используя формулу: расстояние = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²). Подставляем значения координат точки М и коэффициенты плоскости α в формулу и решаем ее, получая численное значение расстояния.
3) Чтобы найти расстояние между прямой АК и плоскостью NВР, мы можем воспользоваться формулой, которая основана на использовании векторов. Вектор, проведенный от одной точки на плоскости до перпендикулярной прямой, перпендикулярен данной прямой и параллелен плоскости. Можно выбрать две точки на прямой АК и найти перпендикуляр к плоскости NВР, используя формулу для расстояния от точки до плоскости, описанную в задачах 1 и 2. Полученное значение будет расстоянием между прямой АК и плоскостью NВР.
Пример использования:
1) Дано: A(2,3,5), α: 2x — 3y + 4z + 6 = 0
Расстояние = |(2 * 2) + (3 * -3) + (4 * 5) + 6| / √(2² + (-3)² + 4²)
= |4 — 9 + 20 + 6| / √(4 + 9 + 16)
= 21 / √29
≈ 3,92 см
2) Дано: M(1,4,-2), α: 2x — 3y + 4z + 6 = 0, N(3,8,-4)
Расстояние = |(2 * 1) + (3 * 4) + (4 * -2) + 6| / √(2² + (-3)² + 4²)
= |2 + 12 — 8 + 6| / √(4 + 9 + 16)
= 12 / √29
≈ 2,35 см
3) Дано: A(2,3,5), К(4,6,2), М(4,3,1), Р(0,4,6), N(3,8,-4), В(0,-4,0)
Расстояние = |(2 * 4) + (3 * 6) + (4 * 2) + 6| / √(2² + (-3)² + 4²)
= |8 + 18 + 8 + 6| / √(4 + 9 + 16)
= 40 / √29
≈ 7,84 см
Совет: Для лучшего понимания концепции расстояния от точки до плоскости, рекомендуется изучить основные понятия о векторах и уравнениях плоскостей. Практикуйтесь в решении подобных задач, чтобы закрепить полученные знания.
Упражнение: Найдите расстояние от точки P(2,-1,3) до плоскости β: 3x + 4y — 2z + 7 = 0.