Які є значення косинусів кутів трикутника АВС та який тип цього трикутника, якщо А(1;−3;4),В(2;−2;5),С(3;1;3)?

Тре́угольник АВС – это треугольник, образованный тремя точками А(1;−3;4), В(2;−2;5), С(3;1;3). Чтобы найти значение косинусов углов этого треугольника, сначала найдем длины его сторон, а затем воспользуемся формулой косинуса.

1. Нахождение длин сторон треугольника:
Длина стороны АВ равна √[(x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)² + (z₂ — z₁)²] = √[(2 — 1)² + (-2 + 3)² + (5 — 4)²] = √[1² + 1² + 1²] = √3
Длина стороны BC равна √[(x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)² + (z₂ — z₁)²] = √[(3 — 2)² + (1 + 2)² + (3 — 5)²] = √[1² + 3² + (-2)²] = √14
Длина стороны AC равна √[(x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)² + (z₂ — z₁)²] = √[(3 — 1)² + (1 — (-3))² + (3 — 4)²] = √[2² + 4² + (-1)²] = √21

2. Нахождение значений косинусов углов:
Косинус угла А равен (BC² + AC² — AB²) / (2 * BC * AC) = (14 + 21 — 3) / (2 * √14 * √21)
Косинус угла В равен (AB² + AC² — BC²) / (2 * AB * AC) = (3 + 21 — 14) / (2 * √3 * √21)
Косинус угла С равен (AB² + BC² — AC²) / (2 * AB * BC) = (3 + 14 — 21) / (2 * √3 * √14)

3. Тип треугольника:
Если все три значения косинусов углов положительны, то треугольник АВС — остроугольный.
Если хотя бы одно значение косинуса угла отрицательно, то треугольник АВС — тупоугольный.
Если хотя бы одно значение косинуса угла равно нулю, то треугольник АВС — прямоугольный.

Пример использования:
Значение косинуса угла А равно (14 + 21 — 3) / (2 * √14 * √21) = 0.70710678118

Совет:
Для упрощения расчетов можно использовать калькулятор или программу для работы с формулами.

Практика:
Найдите косинусы углов треугольника, если А(0;0;1), В(4;0;5), С(2;2;1).