Определите величину амплитуды вынужденных колебаний груза массой 0,2 кг, подвешенного на пружине с жесткостью 20 Н/м, при наличии возмущающей силы с амплитудой 2 Н и частотой, вдвое превышающей собственную частоту колебаний груза. Коэффициент затухания составляет 0,5 с. Предоставьте решение данной задачи.
Пошаговый ответ:
Объяснение:
Для решения данной задачи мы можем использовать уравнение вынужденных колебаний с затуханием, которое выглядит следующим образом:
mx» + γx’ + kx = F0cos(ωt)
где m — масса груза, x — смещение груза, γ — коэффициент затухания, k — коэффициент жесткости пружины, F0 — амплитуда возмущающей силы, ω — частота возмущающей силы.
Для начала, нам необходимо найти собственную частоту колебаний груза. Это можно сделать, используя формулу:
ω0 = sqrt(k/m)
Далее, нам необходимо найти частоту возмущающей силы. У нас дано, что частота возмущающей силы вдвое превышает собственную частоту, так что мы можем записать:
ω = 2ω0
Теперь мы можем рассчитать амплитуду вынужденных колебаний, используя следующую формулу:
A = F0 / sqrt((k — mω^2)^2 + γ^2 ω^2)
Пример использования:
В нашем случае, m = 0.2 кг, k = 20 Н/м, F0 = 2 Н, γ = 0.5 с, ω = 2ω0.
Сначала найдем собственную частоту колебаний груза:
ω0 = sqrt(20 / 0.2) = 10 рад/с
Затем найдем частоту возмущающей силы:
ω = 2 * 10 = 20 рад/с
Теперь можем рассчитать амплитуду вынужденных колебаний:
A = 2 / sqrt((20 — 0.2 * 20^2)^2 + 0.5^2 * 20^2) = 2 / sqrt(356) ≈ 0.112 Н
Совет:
Для лучшего понимания данного типа задач рекомендуется изучить теорию вынужденных колебаний с затуханием и ознакомиться с формулами, используемыми для решения таких задач.
Упражнение:
Подвешенный на пружине груз массой 0.3 кг имеет собственную частоту колебаний 8 рад/с. Коэффициент затухания равен 0.4 с. Определите амплитуду вынужденных колебаний груза при наличии возмущающей силы с амплитудой 3 Н и частотой 16 рад/с. Коэффициент жесткости пружины равен 15 Н/м.