Найдите все значения x, для которых уравнение 2cos^2(x-3п/2)-sin(x-п) =0 выполняется в интервале [(5п/2) ; 4п].
Проверенное решение:
Описание: Для решения данного уравнения 2cos^2(x-3п/2)-sin(x-п) = 0, мы должны найти все значения x, при которых это уравнение выполняется в заданном интервале [(5п/2); 4п].
Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя формулы тригонометрии. Заменим cos^2(x) на 1 — sin^2(x) и упростим уравнение:
2(1-sin^2(x-3п/2)) — sin(x-п) = 0
Шаг 2: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
2 — 2sin^2(x-3п/2) — sin(x)cos(п) + cos(x)sin(п) = 0
Шаг 3: Упростим выражение и приведем подобные слагаемые:
2 — 2sin^2(x-3п/2) — sin(x) = 0
Шаг 4: Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:
2sin^2(x-3п/2) + sin(x) — 2 = 0
Шаг 5: Используя формулу двойного угла, заменим sin(x-3п/2) на sin(x)cos(3п/2) — cos(x)sin(3п/2):
2(sin(x)cos(3п/2) — cos(x)sin(3п/2))^2 + sin(x) — 2 = 0
Шаг 6: Упростим получившееся выражение и приведем подобные слагаемые:
2(cos^2(x) — 2sin(x)cos(x) + sin^2(x)) + sin(x) — 2 = 0
2(cos^2(x) + sin^2(x) — 2sin(x)cos(x)) + sin(x) — 2 = 0
2(1 — sin(2x)) + sin(x) — 2 = 0
Шаг 7: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
2 — 2sin(2x) + sin(x) — 2 = 0
-sin(2x) + sin(x) = 0
Шаг 8: Используя формулу синуса разности, заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x):
-2sin(x)cos(x) + sin(x) = 0
Шаг 9: Вынесем sin(x) за скобку:
sin(x)(1 — 2cos(x)) = 0
Шаг 10: Разобьем уравнение на две части и решим каждую часть отдельно:
sin(x) = 0 или 1 — 2cos(x) = 0
Шаг 11: Решим каждую часть уравнения:
Для sin(x) = 0, x принимает значения pi*k, где k — целое число.
Для 1 — 2cos(x) = 0, решим уравнение относительно cos(x):
2cos(x) = 1
cos(x) = 1/2
x = pi/3 + 2pi*n или x = 5pi/3 + 2pi*n, где n — целое число.
Пример использования: Найдите все значения x, для которых уравнение 2cos^2(x-3п/2)-sin(x-п) = 0 выполняется в интервале [(5п/2) ; 4п]
Совет: Чтобы решать уравнения с тригонометрическими функциями, помните основные формулы и методы преобразования. Также обратите внимание на ограничения заданного интервала и учтите возможность появления дополнительных решений при использовании тригонометрических формул.
Упражнение: Найдите все значения x, для которых уравнение cos^2(x-п/2) — 2cos(x-п/2) + 1 = 0 выполняется в интервале [0 ; 2п].