Яка висота конуса, якщо радіус його основи дорівнює 12 см, а кут вершини осьового перетину становить 120°?
Пошаговое решение:
Разъяснение: Для вычисления высоты конуса по заданным параметрам нам понадобится использовать теорему синусов. Вначале, чтобы найти длину высоты, нам необходимо вычислить длину бокового ребра конуса. Длина бокового ребра может быть найдена с помощью формулы:
a = r/ sin α,
где r — радиус основания конуса, α — угол вершины осевого сечения конуса (в радианах).
Далее, чтобы найти высоту конуса, нам нужно использовать теорему Пифагора. Гипотенуза прямоугольного треугольника будет равна радиусу основания, а одна из катетов — длине бокового ребра. Другой катет — высота, которую нам нужно найти.
h = sqrt(r^2 — a^2),
где r — радиус основания конуса, a — длина бокового ребра конуса.
Пример использования:
Для данной задачи с радиусом основания конуса, равным 12 см, и углом вершины осьового перетину становящегося 120°, сначала вычислим длину бокового ребра «а».
Используя формулу a = r/ sin α, получаем:
a = 12/ sin(120°) = 12/ (√(3)/2) = 12 * 2 / √(3) = 24 / √(3) ≈ 13.86 см.
Затем, используя теорему Пифагора и формулу h = sqrt(r^2 — a^2), где r = 12 см и a = 13.86 см, получаем:
h = sqrt(12^2 — 13.86^2) ≈ sqrt(144 — 192.0996) ≈ sqrt(-48.0996)
Учитывая, что измерения не могут быть отрицательными, мы приходим к выводу, что конус не существует при заданных параметрах(r = 12 см, α = 120°).
Совет: В этой задаче важно помнить, что углы в радианах необходимо использовать в формулах, а не в градусах. Если у вас есть угол в градусах, необходимо преобразовать его в радианы, умножив на π/180. Также, всегда проверяйте физическую осуществимость результата — могут возникнуть случаи, когда решения не существует или неподходящие значения параметров были использованы.
Упражнение:
У вас есть конус с радиусом основания 8 см и углом вершины осьового перетину 60°. Вычислите высоту конуса.