Сколько плиток было в начале?

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно и найдем количество плиток, которые были изначально.

У нас есть три условия:

1. Если укладывать по 9 плиток в ряд, то на последний ряд плиток не хватит.
2. Если укладывать по 10 плиток в ряд, то полных рядов будет на 7 плиток меньше, чем в последнем ряду, когда укладываем по 9.
3. Рабочие уложили по 11 плиток в одном ряду и остались лишние плитки, и квадратную площадь сделать не получилось.

Давайте обозначим количество плиток, которое было изначально, как «x».

1. Первое условие говорит нам, что x не делится нацело на 9, то есть остаток от деления x на 9 равен ненулевому значению.

2. Второе условие указывает, что если мы укладываем по 10 плиток в ряд, то количество полных рядов меньше на 7, чем количество плиток в последнем ряду при укладке по 9. Это можно выразить уравнением:

   $x=10a+9(b-7)$

   Где «a» — количество полных рядов при укладке по 10, «b» — количество плиток в последнем ряду при укладке по 9.

3. Третье условие указывает, что при укладке по 11 плиток остались лишние плитки, и квадратную площадь сделать не получилось. Это также можно выразить уравнением:

   $x\equiv 1(\mathrm{mod}11)$

Теперь давайте попробуем найти решение, которое удовлетворяет всем этим условиям. Найдем такие значения «x», «a» и «b», которые соответствуют этим условиям.

Сначала рассмотрим второе уравнение:

$x=10a+9(b-7)$

Мы видим, что «x» делится на 9 (так как у нас есть 9 в уравнении), и это означает, что остаток от деления «x» на 9 равен 0. Поэтому у нас есть:

$x\equiv 0(\mathrm{mod}9)$

Теперь у нас есть два остатка от деления для «x»: один по модулю 9 и один по модулю 11. Давайте найдем такое значение «x», которое удовлетворяет обоим условиям.

Сначала давайте найдем остаток от деления «x» на 9 и 11, который равен 0:

$x\equiv 0(\mathrm{mod}9)$
$x\equiv 0(\mathrm{mod}11)$

Теперь мы можем воспользоваться Китайской теорем остатков для нахождения «x». Мы видим, что 9 и 11 — взаимно простые числа (их наибольший общий делитель равен 1), поэтому у нас есть однозначное решение для «x».

Таким образом, «x» делится на 9, на 11 и при этом на 9 остается 0. Такие числа называются кратными обоим числам и представляют собой их наименьшее общее кратное (НОК). Для нахождения «x» нам нужно найти НОК для 9 и 11.

$НОК(9,11)=\frac{9\cdot 11}{\text{НОД(9, 11)}}$

НОД (наибольший общий делитель) для 9 и 11 равен 1, так как эти числа взаимно просты. Таким образом, НОК(9, 11) равен:

$НОК(9,11)=\frac{9\cdot 11}{1}=99$

Итак, «x» равно 99, так как это наименьшее число, которое делится и на 9, и на 11. Это означает, что в начале было 99 плиток.

Таким образом, ответ на задачу: «Сколько плиток было изначально?» — 99 плиток.