Якого розміру площа чотирикутника ABCD з координатами A (– 1; 3), B (1; 5), C (3; 3), D (1; 1)?

Описание: Чтобы найти площадь четырехугольника ABCD с заданными координатами его вершин A (-1; 3), B (1; 5), C (3; 3), D (1; 1), мы можем использовать формулу площади для произвольного четырехугольника. Эта формула основана на методе Гаусса, который разбивает четырехугольник на два треугольника. Площадь четырехугольника равна сумме площадей этих двух треугольников.

Для начала, нам понадобится найти длины сторон четырехугольника, используя формулу расстояния между двумя точками. Затем мы сможем использовать эти длины сторон, чтобы вычислить площадь треугольников. Давайте выполним эти шаги:

1. Найдем длины отрезков AB, BC, CD и DA, используя формулу расстояния между двумя точками:

AB = √[(x2 — x1)² + (y2 — y1)²]
BC = √[(x2 — x1)² + (y2 — y1)²]
CD = √[(x2 — x1)² + (y2 — y1)²]
DA = √[(x2 — x1)² + (y2 — y1)²]

2. Найдем полупериметр P четырехугольника, который равен сумме длин сторон, поделенной на 2:

P = (AB + BC + CD + DA) / 2

3. Теперь, используя формулу Герона, мы можем найти площади треугольников ABC и CDA:

Площадь треугольника ABC = √[P * (P — AB) * (P — BC) * (P — CD)]
Площадь треугольника CDA = √[P * (P — CD) * (P — DA) * (P — AB)]

4. Итак, итоговая площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников ABC и CDA:

Площадь ABCD = Площадь треугольника ABC + Площадь треугольника CDA

Пример использования:
Мы можем использовать эти шаги, чтобы найти площадь четырехугольника ABCD с координатами A (-1; 3), B (1; 5), C (3; 3), D (1; 1).
AB = √[(1 — (-1))² + (5 — 3)²] = √[2² + 2²] = √[4 + 4] = √8
BC = √[(3 — 1)² + (3 — 5)²] = √[2² + (-2)²] = √[4 + 4] = √8
CD = √[(1 — 3)² + (1 — 3)²] = √[(-2)² + (-2)²] = √[4 + 4] = √8
DA = √[(-1 — 1)² + (3 — 1)²] = √[(-2)² + 2²] = √[4 + 4] = √8

P = (AB + BC + CD + DA) / 2 = (8 + 8) / 2 = 16 / 2 = 8

Площадь треугольника ABC = √[8 * (8 — 8) * (8 — 8) * (8 — 8)] = √[0] = 0
Площадь треугольника CDA = √[8 * (8 — 8) * (8 — 8) * (8 — 8)] = √[0] = 0

Площадь ABCD = Площадь треугольника ABC + Площадь треугольника CDA = 0 + 0 = 0

Совет: При работе с задачами на нахождение площади четырехугольников, убедитесь, что вы правильно расставили вершины и правильно вычислили длины сторон. Также обратите внимание, что для более сложных четырехугольников может потребоваться использование других методов вычисления площади.

Упражнение: Найдите площадь четырехугольника с координатами вершин E(2; 6), F(4; 8), G(6; 6), H(4; 4).