Какое отношение периода обращения первого спутника ко второму, если частота обращения первого спутника в 2 раза больше

Отношение периода обращения первого спутника ко второму можно определить с использованием законов Кеплера и формулы для периода обращения спутника.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов) утверждает, что все планеты (и спутники) движутся по орбитам, которые представляют собой эллипсы, и что планета (или спутник) находится в одном из фокусов эллипса.

Второй закон Кеплера (закон равных площадей) гласит, что радиус-вектор, проведенный от солнца (или планеты) к планете (или спутнику), охватывает равные площади за равные промежутки времени. Это означает, что скорость планеты (или спутника) вдоль её орбиты не постоянна, и она движется быстрее, когда ближе к солнцу (или планете) и медленнее, когда дальше от него.

Третий закон Кеплера (закон периодов) утверждает, что отношение кубов полуосей двух орбит (например, орбит спутников) равно отношению квадратов периодов обращения на этих орбитах.

Период обращения спутника можно выразить как:
$T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$

где:

• $T$ — период обращения спутника,
• $a$ — большая полуось орбиты спутника,
• $G$ — гравитационная постоянная,
• $M$ — масса планеты (в данном случае, планеты, вокруг которой движутся спутники).

В данной задаче у нас есть два спутника, и нам нужно найти отношение их периодов. Для этого мы можем использовать выражение для периода, при условии, что масса планеты, вокруг которой движутся спутники, одинакова для обоих спутников. Это предположение допустимо, так как обычно масса планеты существенно больше массы спутника, и различия в массе спутников не оказывают существенного влияния на массу планеты.

По условию задачи, первый спутник имеет радиус орбиты в 4 раза меньше, чем у второго спутника, и его частота обращения в 2 раза больше. Поэтому мы можем представить это как:
$a_1=\frac{1}{4}{a}_2$
$f_1=2f_2$

Теперь мы можем использовать формулу для периода обращения и подставить соответствующие значения. Давайте обозначим период обращения первого спутника как $T_1$ и второго как $T_2$:

Для первого спутника:
$T_1=2\pi \sqrt{\frac{a_1^3}{GM}}=2\pi \sqrt{\frac{{\left(\frac{1}{4}{a}_2\right)}^3}{GM}}$
$T_1=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{a_2^3}{GM}}$

Для второго спутника:
$T_2=2\pi \sqrt{\frac{a_2^3}{GM}}$

Теперь мы можем найти отношение периодов $T_1$ к $T_2$:
$\frac{T_1}{T_2}=\frac{\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{a_2^3}{GM}}}{2\pi \sqrt{\frac{a_2^3}{GM}}}$

Упрощая это выражение, мы видим, что все постоянные (как гравитационная постоянная $G$, масса планеты $M$, и $\frac{1}{2\pi }$) сокращаются:
$\frac{T_1}{T_2}=\frac{\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{a_2^3}{GM}}}{2\pi \sqrt{\frac{a_2^3}{GM}}}=\frac{1}{2\pi }\cdot 2\pi =1$

Ответ: Отношение периода обращения первого спутника ко второму равно 1, что означает, что периоды обращения обоих спутников одинаковы.