Докажите, что последовательность возрастает: b/n=7n/n+1.
1. Докажите, что для стационарной последовательности выполняется следующее соотношение: b1 b1>b2>b3>…>bn>bn+1>… bn=C
2. Определите значения следующих членов заданной последовательности после преобразования: 2.1. bn= … — […/n+…] (дробь) 2.2. bn+1= … — […/n+1…] (дробь)
3. Заданная последовательность возрастает, так как bn (больше/меньше/равно) bn+1.
Пошаговое объяснение:
Инструкция: Для доказательства возрастания последовательности нам требуется установить, что каждый член последовательности больше предыдущего члена. Давайте рассмотрим заданную последовательность b/n = 7n/(n+1) и докажем, что она возрастает.
Для этого докажем, что bn > bn+1, где n — натуральное число.
1. Подставим n вместо индекса последнего члена последовательности в выражении b/n и обозначим его как bn.
bn = 7n/(n+1)
2. Подставим (n+1) вместо индекса последнего члена последовательности в выражении b/n и обозначим его как bn+1.
bn+1 = 7(n+1)/((n+1)+1)
3. Упростим полученные выражения:
bn = 7n/(n+1)
bn+1 = 7(n+1)/(n+2)
4. Чтобы доказать, что последовательность возрастает, нужно доказать, что bn > bn+1 для всех n.
Подставим выражения для bn и bn+1 и сравним их:
7n/(n+1) > 7(n+1)/(n+2)
5. Упростим неравенство:
7n(n+2) > 7(n+1)(n+1)
7n^2 + 14n > 7n^2 + 14n + 7
0 > 7
6. Получили противоречие, так как неравенство 0 > 7 не выполняется.
Значит, последовательность bn = 7n/(n+1) возрастает.
Пример использования: Докажите, что последовательность возрастает: b/n = 7n/(n+1), где n — натуральное число.
Совет: Чтобы лучше понять доказательства математических утверждений, рекомендуется ознакомиться со свойствами математических операций и неравенствами.
Упражнение: Докажите или опровергните, что последовательность c/n = 10n/(n+2) возрастает.