Что значения p2 и p4, если p4 в 6 раз больше, чем p2, при условии заданной дискретной случайной величины X с законом распределения? Каково математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины? При заданных значениях x, 2, 6, 7, 9, и 3, p равно 0,12, p2 равно 0,25, и p4 равно 0,41.
Пошаговое решение:
Описание:
Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, которое предполагаетсе, что каждое возможное значение величины имеет одинаковую вероятность. Для дискретной случайной величины X с законом распределения значения p, математическое ожидание E(X) рассчитывается путем умножения каждого значения на соответствующую вероятность и суммирования результатов:
E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + … + xn * pn
Дисперсия — это мера разброса случайной величины относительно ее среднего значения. Для дискретной случайной величины X с законом распределения значения p и математическим ожиданием E(X), дисперсия Var(X) рассчитывается путем умножения каждой разности значения и математического ожидания на соответствующую вероятность и суммирования результатов:
Var(X) = (x1 — E(X))^2 * p1 + (x2 — E(X))^2 * p2 + … + (xn — E(X))^2 * pn
Пример использования:
Зная, что p4 в 6 раз больше, чем p2, мы можем уравнить эти значения: p4 = 6 * p2.
Известно, что p2 = 0,25, следовательно, p4 = 6 * 0,25 = 1,5.
Таким образом, значения p2 и p4 равны 0,25 и 1,5 соответственно.
Теперь рассчитаем математическое ожидание и дисперсию для данной дискретной случайной величины X, где значения x равны 2, 6, 7, 9 и 3, а вероятности p равны 0,12, 0,25 и 0,41 соответственно.
Математическое ожидание E(X) рассчитывается следующим образом:
E(X) = 2 * 0,12 + 6 * 0,25 + 7 * 0,41 + 9 * 0,25 + 3 * 0,12 = 6,83.
Дисперсия Var(X) рассчитывается следующим образом:
Var(X) = (2 — 6,83)^2 * 0,12 + (6 — 6,83)^2 * 0,25 + (7 — 6,83)^2 * 0,41 + (9 — 6,83)^2 * 0,25 + (3 — 6,83)^2 * 0,12 = 4,9571.
Совет:
Для лучшего понимания математического ожидания и дисперсии, помните, что математическое ожидание обозначает среднее значение, а дисперсия — разброс вокруг этого среднего значения.
Упражнение:
Для дискретной случайной величины Y с законом распределения значения q и следующими парами значений и вероятностей: (1, 0.2), (4, 0.3), (6, 0.1), (8, 0.2), (9, 0.2), рассчитайте математическое ожидание E(Y) и дисперсию Var(Y).