Каков объем шара с радиусом, вписанным в цилиндр, если высота цилиндра составляет 2√7 и сторона правильного треугольника, вписанного в его основание, равна 3√(3)?
Пошаговое объяснение:
Тема: Объем шара, вписанного в цилиндр
Объяснение: Чтобы найти объем шара, вписанного в цилиндр, сначала определим радиус шара. У нас есть информация о высоте цилиндра и стороне вписанного треугольника. Известно, что треугольник является правильным, поэтому радиус шара будет равен радиусу вписанной окружности треугольника. Для нахождения радиуса воспользуемся формулой для площади правильного треугольника: S = (√3/4) * (a^2), где a — длина стороны треугольника. В нашем случае, длина стороны треугольника равна 3√(3), поэтому S = (√3/4) * (3√(3))^2 = (√3/4) * 27 = 9√3. Теперь найдем высоту вписанной окружности, используя теорему Пифагора: h = √(a^2 — r^2), где h — высота, a — длина стороны треугольника, r — радиус. Подставим известные значения: 2√7 = √(3√(3))^2 — r^2. Раскроем скобки: 2√7 = √27 — r^2. Упростим: 2√7 = 3√3 — r^2. Решим это уравнение относительно r: r^2 = 3√3 — 2√7. Теперь посчитаем объем шара, используя формулу: V = (4/3) * π * r^3. Подставим значение r и вычислим. Наконец, получим объем шара, вписанного в цилиндр.
Пример использования: Найдите объем шара, вписанного в цилиндр с высотой 2√7 и стороной правильного треугольника, вписанного в его основание, равной 3√(3).
Совет: Для решения этой задачи необходимо уметь применять формулы для площади правильного треугольника и объема шара, а также использовать теорему Пифагора для нахождения радиуса. Важно внимательно следить за каждым шагом вычислений и не допускать ошибок в арифметике.
Упражнение: Найдите объем шара, вписанного в цилиндр с высотой 4 и радиусом основания 2.
Объяснение: Чтобы найти объем шара, вписанного в цилиндр, сначала определим радиус шара. У нас есть информация о высоте цилиндра и стороне вписанного треугольника. Известно, что треугольник является правильным, поэтому радиус шара будет равен радиусу вписанной окружности треугольника. Для нахождения радиуса воспользуемся формулой для площади правильного треугольника: S = (√3/4) * (a^2), где a — длина стороны треугольника. В нашем случае, длина стороны треугольника равна 3√(3), поэтому S = (√3/4) * (3√(3))^2 = (√3/4) * 27 = 9√3. Теперь найдем высоту вписанной окружности, используя теорему Пифагора: h = √(a^2 — r^2), где h — высота, a — длина стороны треугольника, r — радиус. Подставим известные значения: 2√7 = √(3√(3))^2 — r^2. Раскроем скобки: 2√7 = √27 — r^2. Упростим: 2√7 = 3√3 — r^2. Решим это уравнение относительно r: r^2 = 3√3 — 2√7. Теперь посчитаем объем шара, используя формулу: V = (4/3) * π * r^3. Подставим значение r и вычислим. Наконец, получим объем шара, вписанного в цилиндр.
Пример использования: Найдите объем шара, вписанного в цилиндр с высотой 2√7 и стороной правильного треугольника, вписанного в его основание, равной 3√(3).
Совет: Для решения этой задачи необходимо уметь применять формулы для площади правильного треугольника и объема шара, а также использовать теорему Пифагора для нахождения радиуса. Важно внимательно следить за каждым шагом вычислений и не допускать ошибок в арифметике.
Упражнение: Найдите объем шара, вписанного в цилиндр с высотой 4 и радиусом основания 2.