Какие точки находятся на экстремуме данной функции y=3x−6cosx на интервале x∈[−π/2;π], и как можно описать характер каждой точки? Ответ приведи в градусах.
Проверенное решение:
Инструкция: Для решения данной задачи нам необходимо найти точки экстремума функции y = 3x — 6cosx на интервале x ∈ [-π/2; π] и описать их характер.
Для начала, найдем производную функции. Производная позволяет нам определить, где функция имеет максимумы и минимумы. Производная функции y по x будет равна:
dy/dx = 3 + 6sinx
Для нахождения точек экстремума необходимо приравнять производную к нулю и найти значения x, для которых выполняется это условие:
3 + 6sinx = 0
sinx = -1/2
Так как интервал ограничен от -π/2 до π, мы получаем два значения x, соответствующие точкам экстремума: x = -π/6 и x = 7π/6.
Теперь найдем соответствующие значения y, подставив эти x в исходную функцию:
y(-π/6) = 3(-π/6) — 6cos(-π/6) ≈ -0.2 (в радианах)
y(7π/6) = 3(7π/6) — 6cos(7π/6) ≈ -11.8 (в радианах)
Переводя значения в градусы, получаем, что точка экстремума при x = -π/6 соответствует примерно y = -11.5°, а точка экстремума при x = 7π/6 — примерно y = -68.0°.
Таким образом, на интервале x ∈ [-π/2; π], функция y = 3x — 6cosx имеет две точки экстремума: при x = -π/6 и x = 7π/6. Характер каждой точки можно описать как минимум и максимум соответственно.
Совет: Для лучшего понимания поиска экстремумов функции, ознакомьтесь с темой производных функций и их свойствами. Попрактикуйтесь в решении подобных задач, чтобы закрепить материал.
Практика: Найдите точки экстремума и опишите их характер для функции y = 2x^3 — 3x^2 — 12x.