В1. Докажите взаимную перпендикулярность плоскостей МНР и ВDD1, если точки М, Н и Р — середины ребер А1В1, В1С1 и АD

Рассмотрим данную задачу. У нас есть куб ABCDA1B1C1D1, где точки М, H и Р — середины ребер А1В1, В1С1 и АD соответственно.

Плоскость МНР проходит через точки М, Н и Р. Плоскость ВDД1 также проходит через точки В, D и D1. Нам необходимо доказать, что эти две плоскости взаимно перпендикулярны, то есть, что у них пересекающиеся прямые взаимно перпендикулярны.

Для начала заметим, что ребра AD и В1D1 двух параллельных граней куба лежат в двух перпендикулярных плоскостях MNР и ВDД1. Таким образом, прямые AD и В1D1, проведенные по этим ребрам, лежат в пересечении данных плоскостей.

Так как точки D, D1 и Р — это соответственно вершины трех треугольников АDR, В1D1Р и МНР, а также средние перпендикуляры к соответствующим сторонам этих треугольников пересекаются в одной точке (центре грани А1С1D1В1 куба), то получаем следующее:

AD ⊥ РD1, РD ⊥ D1Р и МН ⊥ НР.

Таким образом, мы доказали, что прямые AD и В1D1, лежащие в пересечении плоскостей МНР и ВDД1, взаимно перпендикулярны.

Пример использования:

Пусть А1В1С1D1 — куб с ребром a. Требуется доказать взаимную перпендикулярность плоскостей МНР и ВDD1.

Совет:

Уделите особое внимание геометрической интуиции и пониманию свойств фигур. Работайте с рисунками и моделями, если это поможет вам в анализе и доказательствах построений. Используйте готовые схемы и принципы, если они есть в вашем учебнике или учебных материалах.

Упражнение:

Для куба ABCDA1B1C1D1 с ребром a докажите взаимную перпендикулярность плоскостей MNР и АВН.