Какой угол образуют прямая DC1 и плоскость DA1B1C в кубе A…D?

Пояснение:
В данной задаче мы имеем куб A…D, где плоскость DA1B1C проходит через точки D, A1 и B1. Нам необходимо найти угол, образованный прямой DC1 и данной плоскостью.

Чтобы решить эту задачу, важно знать, что угол между прямой и плоскостью определяется углом между направляющим вектором прямой и нормалью плоскости.

Для начала найдем направляющий вектор прямой DC1. Мы можем представить данную прямую вектором DC1 = C — D.

Затем найдем нормаль плоскости DA1B1C. Нормаль плоскости можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Векторы DA1 и DB1 лежат в плоскости DA1B1C, поэтому мы можем представить нормаль плоскости как векторное произведение N = DA1 x DB1.

Далее, чтобы найти угол между прямой и плоскостью, мы используем формулу cos(theta) = (DC1 · N) / (|DC1| * |N|), где · обозначает скалярное произведение двух векторов, | | обозначает модуль вектора.

Пример использования:
Пусть D(1, 2, 3), C1(4, 5, 6), A1(7, 8, 9), B1(10, 11, 12). Найдем угол между прямой DC1 и плоскостью DA1B1C.

DC1 = C1 — D = (4, 5, 6) — (1, 2, 3) = (3, 3, 3).
DA1 = A1 — D = (7, 8, 9) — (1, 2, 3) = (6, 6, 6).
DB1 = B1 — D = (10, 11, 12) — (1, 2, 3) = (9, 9, 9).

N = DA1 x DB1 = (6, 6, 6) x (9, 9, 9) = (0, 54, -54).

DC1 · N = (3, 3, 3) · (0, 54, -54) = 0 * 3 + 54 * 3 + -54 * 3 = 0.
|DC1| = sqrt(3^2 + 3^2 + 3^2) = sqrt(27) = 3 * sqrt(3).
|N| = sqrt(0^2 + 54^2 + -54^2) = sqrt(5832) = 54 sqrt(3).

cos(theta) = (0) / (3 * sqrt(3) * 54 sqrt(3)) = 0.

Таким образом, угол между прямой DC1 и плоскостью DA1B1C составляет 90 градусов.

Совет: Чтобы лучше понять геометрические свойства углов между прямыми и плоскостями, можно рассмотреть простые примеры, нарисовать схемы и использовать геометрические конструкции.

Упражнение: Найдите угол между прямой DE и плоскостью DFGH в прямоугольном параллелепипеде D…H, если D(1, 2, 3), E(4, 5, 6), F(7, 8, 9), G(10, 11, 12), H(13, 14, 15).