В равнобедренном треугольнике, где синус угла при основании равен 1/3, найдите косинус угла при вершине этого треугольника.
Выведите формулы для тройного угла:
а) sin3α = 3sinα−4sin 3 α;
б) cos3α = 4cos 3 α−3cosα;
в) tg3α = (3tgα−tg 3 α)/( 1−3tg 2 α).
Докажите, что:
а) cos π/ 5 * cos2π /5 = 1/4;
б) cos20 0 cos40 0 cos80 0 = 1/8.
Подтвержденное решение:
Инструкция: Для решения этой задачи, мы можем использовать теорему синусов и тригонометрические формулы. Определим обозначения для наших углов и сторон. Пусть a и b — равные стороны треугольника, α — угол при основании и β — угол при вершине. Таким образом, у нас будет sin(α) = 1/3 и sin(β) = 1/3.
Используя теорему синусов, мы можем записать отношения сторон треугольника:
a/ sin(α) = b/ sin(β)
Подставив известные значения, получим:
a / (1/3) = b / (1/3)
Упрощаем выражение:
a = b
Из равнобедренности треугольника следует, что a = b. Таким образом, мы можем утверждать, что стороны треугольника равны друг другу.
Теперь мы можем использовать тригонометрическую формулу для нахождения косинуса угла при вершине, cos(β):
cos(β) = sqrt(1 — sin^2(β))
Подставив значение sin(β) = 1/3, получим:
cos(β) = sqrt(1 — (1/3)^2)
cos(β) = sqrt(1 — 1/9)
cos(β) = sqrt(8/9)
cos(β) = sqrt(8) / 3
Это является окончательным ответом.
Пример использования:
Задача: треугольника.
Решение: Используя теорему синусов и тригонометрическую формулу, мы получаем:
cos(β) = sqrt(1 — (1/3)^2)
cos(β) = sqrt(8) / 3
Ответ: Косинус угла при вершине равен sqrt(8) / 3.
Совет: Чтобы лучше понять тригонометрические формулы, рекомендуется изучить основные свойства тригонометрических функций — синуса, косинуса и тангенса. Также полезно освоить применение этих функций в геометрических задачах, таких как нахождение сторон и углов треугольников.
Упражнение: Если синус угла при основании равен 1/4, найдите косинус угла при вершине этого равнобедренного треугольника.