Какова сумма первых шести членов геометрической прогрессии, если разность между пятым и третьим членами равна 240, а между четвертым и вторым членами равна 60?
Пошаговое решение:
Пояснение:
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.
Чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, сначала нам необходимо определить знаменатель прогрессии. Мы можем использовать информацию о разности между пятой и третьей частями, а также о разности между четвертой и второй частями.
Разность между пятым и третьим членами равна 240, поэтому мы можем записать отношение:
a₅ / a₃ = 240
Аналогично, разность между четвертым и вторым членами равна 60:
a₄ / a₂ = 60
Теперь мы можем использовать эти отношения для определения знаменателя прогрессии:
240 = a₅ / a₃
60 = a₄ / a₂
Мы можем умножить оба уравнения на a₃ и a₂ соответственно:
240 * a₃ = a₅
60 * a₂ = a₄
Теперь, зная, что каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на знаменатель прогрессии, мы можем определить все члены данной прогрессии.
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии может быть вычислена по следующей формуле:
S₆ = a₁ * (r⁶ — 1) / (r — 1)
Где а₁ — первый член прогрессии, r — знаменатель прогрессии.
Пример использования:
Для данной задачи мы должны сначала найти знаменатель прогрессии (r), используя данные о разностях между пятой и третьей частями, а также между четвертой и вторым членами:
240 = a₅ / a₃,
60 = a₄ / a₂.
Затем, используя знаменатель прогрессии (r), мы можем вычислить сумму первых шести членов геометрической прогрессии с помощью формулы:
S₆ = a₁ * (r⁶ — 1) / (r — 1).
Совет:
Чтобы лучше понять геометрическую прогрессию и ее свойства, рекомендуется изучить основные теоретические сведения о прогрессиях. Также полезно понять, как найти знаменатель прогрессии и как использовать его для нахождения суммы первых n членов.
Практика:
Определите значение знаменателя прогрессии (r) в геометрической прогрессии, если разность между четвертым и первым членами равна 8, а значение пятого члена равно 32.